Bài 2: 

Ta có: AM=1/2BC

nên AM=BM=CM

Xét ΔMAB có MA=MB

nên ΔMAB cân tại M

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{B}\)

Xét ΔMAC có MA=MC

nên ΔMAC cân tại M

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{C}\)

Xét ΔBAC có \(\widehat{BAC}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{MAB}+\widehat{B}+\widehat{MAC}+\widehat{C}=180^0\)

\(\Leftrightarrow2\cdot\left(\widehat{MAB}+\widehat{MAC}\right)=180^0\)

=>\(\widehat{BAC}=90^0\)

hay ΔABC vuông tại A

Xét tam giác ABC, theo tính chất đường trung trực ta có:

OB = OE

OA = OC

Xét tam giác AOB và tam giác COE có:

AO = CO (cmt)

OB = OE (cmt)

AB = CE (gt)

=> tam giác AOB = Tam giác COA (c.c.c) (ĐPCM)

b)

Ta có: tam giác AOB = tam giác COE (ý a)

=> \(\widehat{ABO}=\widehat{CEO}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{CEO}=90^o\Rightarrow\widehat{ABO}=90^o\)

Lại có \(\widehat{AEO}=90^o\) (OC là đg trung trực)

Xét tam giác ABO và tam giác AEO có:

\(\widehat{ABO}=\widehat{AEO}=90^o\)

AO chung

BO = OE(cmt)

=> tam giác ABO = tam giác AEO (ch-cgv)

=> \(\widehat{BAO}=\widehat{EAO}\) (2 góc tương ứng)

hay \(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)(do E \(\in\)AC)

Mà AO nằm giữa AB và AC

=> AO là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (ĐPCM)

a) Ta có: \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{2}{5}\)

\(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}\)

Do đó: \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)\(\left(=\dfrac{2}{5}\right)\)

Xét ΔAEF và ΔABC có 

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)(cmt)

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC(c-g-c)

Suy ra: \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{5}=\dfrac{EF}{12}\)

hay EF=4,8(cm)

Vậy: EF=4,8cm