a) Ta có: \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{2}{5}\)
\(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}\)
Do đó: \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)\(\left(=\dfrac{2}{5}\right)\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)(cmt)
\(\widehat{A}\) chung
Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC(c-g-c)
Suy ra: \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{5}=\dfrac{EF}{12}\)
hay EF=4,8(cm)
Vậy: EF=4,8cm
Trước tiên, chúng ta cần dựng tam giác ABC với các điểm A, B, và C. Theo thông tin mà bạn cung cấp, ta có các cạnh sau: - AB = 5 cm - AC = 10 cm - BC = 12 cm Căn cứ vào điều kiện cho trước, ta có: - AE = 2 cm, nên EB = AB - AE = 5 cm - 2 cm = 3 cm. - AF = 4 cm, nên FC = AC - AF = 10 cm - 4 cm = 6 cm. Bây giờ, để tính độ dài EF, sử dụng định lý phân tỷ lệ (hoặc định lý Cosine nếu cần): 1. Tam giác AEF có các cạnh AE và AF. 2. Tính độ dài EF bằng định lý Cosine: Ta có thể tính EF từ tam giác EFB:
EF=EB2+FC2−2⋅EB⋅FC⋅cos(∠EAF)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√Tuy nhiên, không có thông tin về góc EAF, nên ta cần tìm cách tiếp cận khác. Với cách đơn giản hơn, nếu EF là đoạn thẳng nối giữa hai điểm trên hai phía của tam giác, tổ hợp một số điểm có thể vẽ ra tam giác là EAF. Duy trì vị trí tương đối của các điểm, bạn sẽ thấy EF có thể được xác định bằng:
EF=AE2+AF2−AE⋅AF−−−−−−−−−−−−−−−−−−√trong trường hợp này, không có tính chất đặc biệt nào được áp dụng. ### b. Tính tỷ số chu vi và diện tích của tam giác AEF và tam giác ABC - Chu vi tam giác ABC:
PABC=AB+AC+BC=5+10+12=27 cm.- Chu vi tam giác AEF:
PAEF=AE+AF+EF.Chờ EF được tính ở phần a. ### Tỉ số chu vi:
Tỉ số chu vi=PAEFPABC.### Diện tích - Diện tích tam giác ABC có thể tính bằng công thức Heron:
s=a+b+c2=5+10+122=13.5 SABC=s(s−a)(s−b)(s−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√=13.5⋅(13.5−5)⋅(13.5−10)⋅(13.5−12)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√Tương tự, ta sẽ tính diện tích tam giác AEF bằng công thức dựa vào chiều cao, tính từ các điểm E và F. ### c. Chứng minh IE.IB = IF.IC Bằng cách sử dụng định lý về các đoạn thẳng trong một tam giác khi cắt nhau, áp dụng định lý Menelaus hoặc tỉ lệ đoạn thẳng, chúng ta có thể chứng minh rằng IE \cdot IB = IF \cdot IC dựa trên sự cân bằng và phân chia của các đoạn.
Trước tiên, chúng ta cần dựng tam giác ABC với các điểm A, B, và C. Theo thông tin mà bạn cung cấp, ta có các cạnh sau: - AB = 5 cm - AC = 10 cm - BC = 12 cm Căn cứ vào điều kiện cho trước, ta có: - AE = 2 cm, nên EB = AB - AE = 5 cm - 2 cm = 3 cm. - AF = 4 cm, nên FC = AC - AF = 10 cm - 4 cm = 6 cm. Bây giờ, để tính độ dài EF, sử dụng định lý phân tỷ lệ (hoặc định lý Cosine nếu cần): 1. Tam giác AEF có các cạnh AE và AF. 2. Tính độ dài EF bằng định lý Cosine: Ta có thể tính EF từ tam giác EFB:
EF=EB2+FC2−2⋅EB⋅FC⋅cos(∠EAF)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√Tuy nhiên, không có thông tin về góc EAF, nên ta cần tìm cách tiếp cận khác. Với cách đơn giản hơn, nếu EF là đoạn thẳng nối giữa hai điểm trên hai phía của tam giác, tổ hợp một số điểm có thể vẽ ra tam giác là EAF. Duy trì vị trí tương đối của các điểm, bạn sẽ thấy EF có thể được xác định bằng:
EF=AE2+AF2−AE⋅AF−−−−−−−−−−−−−−−−−−√trong trường hợp này, không có tính chất đặc biệt nào được áp dụng. ### b. Tính tỷ số chu vi và diện tích của tam giác AEF và tam giác ABC - Chu vi tam giác ABC:
PABC=AB+AC+BC=5+10+12=27 cm.- Chu vi tam giác AEF:
PAEF=AE+AF+EF.Chờ EF được tính ở phần a. ### Tỉ số chu vi:
Tỉ số chu vi=PAEFPABC.### Diện tích - Diện tích tam giác ABC có thể tính bằng công thức Heron:
s=a+b+c2=5+10+122=13.5 SABC=s(s−a)(s−b)(s−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√=13.5⋅(13.5−5)⋅(13.5−10)⋅(13.5−12)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√Tương tự, ta sẽ tính diện tích tam giác AEF bằng công thức dựa vào chiều cao, tính từ các điểm E và F. ### c. Chứng minh IE.IB = IF.IC Bằng cách sử dụng định lý về các đoạn thẳng trong một tam giác khi cắt nhau, áp dụng định lý Menelaus hoặc tỉ lệ đoạn thẳng, chúng ta có thể chứng minh rằng IE \cdot IB = IF \cdot IC dựa trên sự cân bằng và phân chia của các đoạn.
