Tham khảo : Tìm số tự nhiên n thoả mãn 2.2^2 +3.2^3 +4.2^4+ ...+n.2^n = 2^n+11 - My Hien

Tham khảo : Tìm số tự nhiên n thoả mãn - My Hien

Đặt A = 2.2 2 + 3.2 3 + 4.2 4 + . . . + m .2 m Ta có: A = 2.2 2 + 3.2 3 + 4.2 4 + . . . + m .2 m ⇒ 2 A = 2 ( 2.2 2 + 3.2 3 + 4.2 4 + . . . + n .2 n ) ⇒ 2 A = 2.2 3 + 3.2 4 + 4.2 5 + . . . + m .2 m + 1 ⇒ 2 A − A = 2.2 2 + ( 3.2 3 − 2.2 3 ) + . . . + ( m − m + 1 ) .2 m − m .2 m + 1 ⇒ A = 2.2 2 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 n − n .2 n + 1 ⇒ A = 2 2 + ( 2 2 + 2 3 + . . . + 2 m + 1 ) − ( m + 1 ) .2 m + 1 ⇒ A = − 2 2 − ( 2 2 + 2 3 + . . . + 2 m + 1 ) + ( m + 1 ) .2 m + 1 Đặt B = 2 2 + 2 3 + . . . + 2 m + 1 ⇒ 2 B = 2 3 + 2 4 + . . . + 2 m + 2 ⇒ 2 B − B = 2 m + 2 − 2 2 ⇒ B = 2 m + 2 − 2 2 ⇒ A = 2 2 − 2 m + 2 + 2 2 + ( m + 1 ) .2 m + 1 ⇒ A = ( m + 1 ) .2 m + 1 − 2 m + 2 ⇒ A = 2 m + 1 ( m + 1 − 2 ) ⇒ A = ( m − 1 ) .2 m + 1 = 2 ( m − 1 ) .2 n Mà A = 2 ( m − 1 ) .2 m = 2 m + 10 ⇒ 2 ( m + 1 ) = 2 10 ⇒ m − 1 = 2 9 ⇒ m − 1 = 512 ⇒ m = 513 Vậy m = 513

Đặt \(A=2.2^2+3.2^3+4.2^4+...+n.2^n\)

Ta có:

\(A=2.2^2+3.2^3+4.2^4+...+n.2^n\)

\(\Rightarrow2A=2\left(2.2^2+3.2^3+4.2^4+...+n.2^n\right)\)

\(\Rightarrow2A=2.2^3+3.2^4+4.2^5+...+n.2^{n+1}\)

\(\Rightarrow2A-A=2.2^2+\left(3.2^3-2.2^3\right)+...+\left(n-n+1\right).2^n-n.2^{n+1}\)

\(\Rightarrow A=2.2^2+2^3+2^4+...+2^n-n.2^{n+1}\)

\(\Rightarrow A=2^2+\left(2^2+2^3+...+2^{n+1}\right)-\left(n+1\right).2^{n+1}\)

\(\Rightarrow A=-2^2-\left(2^2+2^3+...+2^{n+1}\right)+\left(n+1\right).2^{n+1}\)

Đặt \(B=2^2+2^3+...+2^{n+1}\)

\(\Rightarrow2B=2^3+2^4+...+2^{n+2}\)

\(\Rightarrow2B-B=2^{n+2}-2^2\Rightarrow B=2^{n+2}-2^2\)

\(\Rightarrow A=2^2-2^{n+2}+2^2+\left(n+1\right).2^{n+1}\)

\(\Rightarrow A=\left(n+1\right).2^{n+1}-2^{n+2}\)

\(\Rightarrow A=2^{n+1}\left(n+1-2\right)\)

\(\Rightarrow A=\left(n-1\right).2^{n+1}=2\left(n-1\right).2^n\)

Mà \(A=2\left(n-1\right).2^n=2^{n+10}\)

\(\Rightarrow2\left(n+1\right)=2^{10}\Rightarrow n-1=2^9\)

\(\Rightarrow n-1=512\Rightarrow n=513\)

Vậy \(n=513\)

Bạn vào câu hỏi tương tự hoặc link https://hoc24.vn/hoi-dap/question/213510.html nha

Bạn tham khảo ở đay nha:

Câu hỏi của Thái Hoàng Thục Anh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Để tìm số tự nhiên n thoả mãn phương trình 2.2^2 + 3.2^3 + 3.2^4 + ... + n.2^n = 2^n + 11, chúng ta có thể thử từng giá trị của n cho đến khi phương trình được thỏa mãn.

Bắt đầu với n = 1: 2.2^2 = 2^2 + 11 8 = 4 + 11 8 = 15 Phương trình không thỏa mãn.

Tiếp tục với n = 2: 2.2^2 + 3.2^3 = 2^2 + 11 8 + 24 = 4 + 11 32 = 15 Phương trình không thỏa mãn.

Tiếp tục với n = 3: 2.2^2 + 3.2^3 + 3.2^4 = 2^3 + 11 8 + 24 + 48 = 8 + 11 80 = 19 Phương trình không thỏa mãn.

Tiếp tục với n = 4: 2.2^2 + 3.2^3 + 3.2^4 + 4.2^4 = 2^4 + 11 8 + 24 + 48 + 64 = 16 + 11 144 = 27 Phương trình không thỏa mãn.

Tiếp tục với n = 5: 2.2^2 + 3.2^3 + 3.2^4 + 4.2^4 + 5.2^5 = 2^5 + 11 8 + 24 + 48 + 64 + 160 = 32 + 11 304 = 43 Phương trình không thỏa mãn.

Tiếp tục với n = 6: 2.2^2 + 3.2^3 + 3.2^4 + 4.2^4 + 5.2^5 + 6.2^6 = 2^6 + 11 8 + 24 + 48 + 64 + 160 + 384 = 64 + 11 688 = 75 Phương trình không thỏa mãn.

Tiếp tục với n = 7: 2.2^2 + 3.2^3 + 3.2^4 + 4.2^4 + 5.2^5 + 6.2^6 + 7.2^7 = 2^7 + 11 8 + 24 + 48 + 64 + 160 + 384 + 896 = 128 + 11 2576 = 139 Phương trình không thỏa mãn.

Tiếp tục với n = 8: 2.2^2 + 3.2^3 + 3.2^4 + 4.2^4 + 5.2^5 + 6.2^6 + 7.2^7 + 8.2^8 = 2^8 + 11 8 + 24 + 48 + 64 + 160 + 384 + 896 + 2048 = 256 + 11 4576 = 267 Phương trình không thỏa mãn.

Tiếp tục với n = 9: 2.2^2 + 3.2^3 + 3.2^4 + 4.2^4 + 5.2^5 + 6.2^6 + 7.2^7 + 8.2^8 + 9.2^9 = 2^9 + 11 8 + 24 + 48 + 64 + 160 + 384 + 896 + 2048 + 4608 = 512 + 11 9600 = 523 Phương trình không thỏa mãn.

Tiếp tục với n = 10: 2.2^2 + 3.2^3 + 3.2^4 + 4.2^4 + 5.2^5 + 6.2^6 + 7.2^7 + 8.2^8 + 9.2^9 + 10.2^10 = 2^10 + 11 8 + 24 + 48 + 64 + 160 + 384 + 896 + 2048 + 4608 + 10240 = 1024 + 11 23840 = 1035 Phương trình không thỏa mãn.

Như vậy, sau khi thử tất cả các giá trị của n từ 1 đến 10, ta thấy không có số tự nhiên n nào thỏa mãn phương trình đã cho.