Cho p là số nguên tố thỏa mãn p+3 và p+10 cũng là số nguyên tố. Tìm số nguyên x sao cho(2x–1)²–p³=22.
1. Tìm x;y ∈ N* để \(x^4+4y^4\) là số nguyên tố.
2. Cho n ∈ N* CMR: \(n^4+4^n\) là hợp số với mọi n>1.
3. Cho biết p là số nguyên tố thỏa mãn: \(p^3-6\) và \(2p^3+5\) là các số nguyên tố. CMR: \(p^2+10\) cũng là số nguyên tố.
4. Tìm tất cả các số nguyên tố có 3 chữ số sao cho nếu ta thay đổi vị trí bất kì ta vẫn thu được số nguyên tố.
1.
\(x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+y^4-4x^2y^2=\left(x^2+2y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)
\(=\left(x^2-2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+2y^2\right)\)
Do x, y nguyên dương nên số đã cho là SNT khi:
\(x^2-2xy+2y^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2=1\)
\(y\in Z^+\Rightarrow y\ge1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)
Thay vào kiểm tra thấy thỏa mãn
2. \(N=n^4+4^n\)
- Với n chẵn hiển nhiên N là hợp số
- Với \(n\) lẻ: \(\Rightarrow n=2k+1\)
\(N=n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4.4^{2k}+4n^2.4^k-n^2.4^{k+1}\)
\(=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(n.2^{k+1}\right)^2=\left(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\right)\left(n^2+2.4^k+n.2^{k+1}\right)\)
Mặt khác:
\(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\ge2\sqrt{2n^2.4^k}-n.2^{k+1}=2\sqrt{2}n.2^k-n.2^{k+1}\)
\(=n.2^{k+1}\left(\sqrt{2}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2}-1\right)>1\)
\(\Rightarrow N\) là tích của 2 số dương lớn hơn 1
\(\Rightarrow\) N là hợp số
Bài 4 chắc không có cách "đại số" nào (tức là dựa vào lý luận chia hết tổng quát) để giải. Mình nghĩ vậy (có lẽ có, nhưng mình ko biết).
Chắc chỉ sáng lọc và loại trừ theo quy tắc kiểu: do đổi vị trí bất kì đều là SNT nên không thể chứa các chữ số chẵn và chữ số 5, như vậy số đó chỉ có thể chứa các chữ số 1,3,7,9
Nó cũng không thể chỉ chứa các chữ số 3 và 9 (sẽ chia hết cho 3)
Từ đó sàng lọc được các số: 113 (và các số đổi vị trí), 337 (và các số đổi vị trí)
Bài 1: Cho số nguyên tố p lớn hơn 5 thỏa mãn p + 14 và p2 + 6 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p + 11 chia hết cho 10.
Bài 2: Cho số nguyên tố p lớn hơn 3 thỏa mãn 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6.
Bài 3: Cho các số nguyên tố p thỏa mãn 8p - 1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng 8p + 1 cũng là hợp số.
Bài 4: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó.
mình chỉ biết bài 4 thôi
Bài 4: Vì tổng bằng 1012 nên trong 3 số nguyên tố đó thì phải có 1 số nguyên tố là số chẵn. Nên số chẵn đó là 2 đồng thời là số nhỏ nhất. Vậy số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó
Tìm số nguyên tố p sao cho p^2+1 và p^4+1 cũng là số nguyên tố. Trả lời: Số nguyên tố thỏa mãn là p =
1) tìm p nguyên tố sao cho : p + 14 và p + 40 cũng nguyên tố
2) Tìm số nguyên tố x,y thỏa mãn
a)x^2 + 45 = y^2
b) Tìm n thuộc N thỏa mãn :3^n +18 là số nguyên tố
c) Tìm x biết : 3^x + 4^x = 5^x
ai lm nhanh mk t cho
p=2 không thỏa
p=3 thỏa
nếu p>3 thì p chia 3 dư 1 hoặc 2
p chia 3 dư 1 => p+14 chia hết cho 3; lớn hơn 3 => vô lí
p chia 3 dư 2 => p+40 chia hết cho 3; lớn hơn 3 => vô lí
vậy p=3
\(\text{ nếu }x=2\text{ thì: }x^2+45=49=7^2\text{ nên }y=7\left(\text{tm}\right)\)
\(+,x>2\text{ thì x lẻ nên }x^2\text{ chia 4 dư 1}\left(\text{bạn tự cm}\right)\)
\(\Rightarrow x^2+45\text{ chia 4 dư 2 nên }y^2\text{ chia 4 dư 2 }\left(\text{vô lí}\right)\)
Bài 18: Hãy so sánh 20152015 - 20152014 và 20152016 - 20152015
Bài 21: Tìm số nguyên tố p, sao cho p+2 và p+4 cũng là các số nguyên tố
Bài 22: Tìm số nguyên tố p, sao cho p+1 và p+3 cũng là các số nguyên tố
Bài 18:
Ta có:
\(2015^{2015}-2015^{2014}=2015^{2014}\cdot\left(2015-1\right)=2015^{2014}\cdot2014\)
\(2015^{2016}-2015^{2015}=2015^{2015}\cdot\left(2015-1\right)=2015^{2015}\cdot2014\)
Mà: \(2014< 2015\)
\(\Rightarrow2015^{2014}< 2015^{2015}\)
\(\Rightarrow2015^{2014}\cdot2014< 2015^{2015}\cdot2014\)
\(\Rightarrow2015^{2015}-2015^{2014}< 2015^{2016}-2015^{2015}\)
Vậy: ...
Tìm số nguyên tố p sao cho và cũng là số nguyên tố.
Trả lời: Số nguyên tố thỏa mãn là p =
tìm số nguyên tố p sao cho p-14 ,p-1 cũng là số nguên tố
Tìm số nguyên tố p sao cho p2 + 1 và p4 + 1 cũng là số nguyên tố.
Trả lời: Số nguyên tố thỏa mãn là p = ?
Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn sao cho
8 x p2 + 1 cũng là số nguyên tố
p = 2 thì \(8p^2+1=8.2^2+1=33\)
Mà 33 chia hết cho 3 và 33 > 3 nên \(8p^2+1\) không là số nguyên tố. (loại p = 2)
Nếu p = 3 thì \(8p^2+1=8.3^2+1=73\)
Vì 73 là số nguyên tố nên p = 3 thỏa mãn
Nếu p là số nguyên tố > 3 thì p có 2 dạng là p = 3k + 1 và p = 3k + 2 \(\left(k\inℕ^∗\right)\)
p = 3k+1 thì \(8p^2+1=8\left(3k+1\right)^2+1=8\left(9k^2+6k+1\right)+1=72k^2+48k+9⋮3\) (loại)
p = 3k+2 thì \(8p^2+1=8\left(3k+2\right)^2+1=8\left(9k^2+12k+4\right)+1=72k^2+96k+33⋮3\) (loại)
Vậy p = 3