Tham Khảo e nhá chj ngu ném ko bik làm☹

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-tam-giac-abc-m-la-trung-diem-bc-chung-minh-ab2-ac2-2am2-bc22.249563555147

Kẻ AH vuông góc BC.

Xét tam giác AHM vuông tại H (^AHM = 90⁰) có:

AM² = AH² + HM² (định lý Pytago).

Xét tam giác AHB vuông tại H (^AHB = 90⁰) có:

AB² = AH² + BH² (định lý Pytago).

Xét tam giác AHC vuông tại H (^AHC = 90⁰) có:

AC² = AH² + CH² (định lý Pytago).

Ta có: BH = BM - HM.

          CH = CM + HM. 

Vì M là trung điểm của BC (gt) => BM = CM; BM = \(\dfrac{BC}{2}\) => BM² = \(\dfrac{BC^2}{4}\).

Ta có: AB² + AC² = AH² + BH² + AH² + CH².

          AB² + AC² = AH² + AH² + BH² + CH².

                            = 2AH² + (BM - HM)² + (CM + HM)².

                            = 2AH² + BM² - 2BM.HM + HM² + CM² + 2CM.HM + HM².

                            = 2AH² + BM² - 2BM.HM + HM² + BM² + 2BM.HM + HM².

                            = 2AH² + 2HM² + 2BM².

                            = 2(AH² + HM²) + 2\(\dfrac{BC^2}{4}\).

          AB² + AC² = 2AM² + \(\dfrac{BC^2}{2}\) (đpcm). 

a, Sử dụng định lí Pytago cho các tam giác vuông HAB và HAC để có đpcm

b, 1. Chứng minh tương tự câu a)

2. Sử dụng định lí Pytago cho tam giác vuông AHM

Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MA = MD

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\) có:

\(BM=CM\left(gt\right)\)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\) (đối đỉnh)

\(MA=MD\) (cách vẽ)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta DCM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AB=CD\)(2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ACD\) có: \(AD< AC+CD\)

\(\Rightarrow2AM< AC+AB\)

\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta MAB\)có: \(AM>AB-BM\)

Xét \(\Delta MAC\)có: \(AM>AC-MC\)

\(\Rightarrow AM+AM>AB-BM+AC-MC\)

\(\Rightarrow2AM>AB+AC-\left(BM+CM\right)\)

\(\Rightarrow2AM>AB+AC-BC\)

\(\Rightarrow AM>\frac{AB+AC-BC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\frac{AB+AC-BC}{2}< AM< \frac{AB+AC}{2}\left(đpcm\right)\)

Trên tia đối của tia AM lấy điểm D sao cho AM=MD

Xét tam giác AMB VÀ TAM GIÁC DMC có

MB=MC(gt)

AM=MD(cách dựng)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)(ĐÓI ĐỈNH)

\(\Rightarrow\)Tam giác AMB=Tam giác BMC(c-g-c)

\(\Rightarrow\)AB=CD(2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác ACD có

AD<CD+AC(bất đẳng thức tam giác)

\(\Rightarrow\)AD<AB+AC(VÌ AB=CD)

Mà AD=AM+MD=2AM

\(\Rightarrow2AM< AB+AC\)

\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}\)(ĐPCM)

Kẻ đoạn thẳng AM

Trên tia AM lấy điểm K sao cho M là trung điểm của AK

=> MA = MK = AK/2 => 2AM = AK

M là trung điểm của BC ( gt ) => MB = MC

Xét tam giác AMB và tam giác KMC có :

MA = MK ( cmt )

AMB = KMC ( đối đỉnh )

MB = MC ( cmt )

Do đó tam giác AMB = tam giác KMC ( c . g . c )

=> AB = CK ( 2 cạnh tương ứng )

CÓ AK < AC + CK ( bất đẳng thức trong tam giác )

hay 2AM < AC + AB

=> AM < \(\frac{AC+AB}{2}\)( dpcm )

Vậy ...

Sửa đề \(AM< \frac{AB+AC+BC}{2}\)

Có AM<AB+BM(BĐT tam giác)

AM<AC+MC(BĐT tam giác)

=> 2AM<AB+AC+BM+MC=AB+AC+BC

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD.

Xét ΔAMB và ΔDMC, ta có:

MA = MD (theo cách vẽ)

∠(AMB) = ∠(DMC) (đối đỉnh)

MB = MC (gt)

Suy ra: ΔAMB = ΔDMC (c.g.c)

Suy ra: AB = CD (hai cạnh tương ứng)

Trong ΔACD, ta có: AD < AC + CD

(bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: AD < AC + AB

Mà AD = AM + MD = 2AM

Suy ra: 2AM < AC + AB hay