Cho bảng gồm các ô vuông kích thước 5× 100 ( bảng gồm 5 hàng, 100cột ) . Người ta tô màu x ô vuông đơn vị của bảng sao cho mỗi ô vuông được gọi là kề nhau nếu chúng có một cạnh chung .

Tìm giá trị lớn nhất của x 

Trong mỗi ô vuông của bảng ô vuông kích thước n\(\times\)n (n là số nguyên dương lẻ) ta viết một trong hai số 1 và -1, một cách tùy ý. Dưới mỗi cột ta viết tích tất cả các số trong cột đó, về phía bên phải của mỗi hàng ta viết tích tất cả các số của hàng đó. Chứng minh rằng tổng tất cả 2n tích vừa viết là một số khác 0.

trên bảng ô vuông kích thước 8x8, ta viết các số tự nhiên từ 1-> 64 mỗi số viết vào một ô một cách tùy ý. Chứng minh rằng luôn tồn tại 2 ô vuông chung cạnh mà hiệu các số ghi trong chúng không nhỏ hơn 5 (chứng minh theo nguyên lý Dirichlet)

Trên bảng ô vuông kích thước 10 x 10, ta viết các số tự nhiên tự 1 đến 100, mỗi số viết vào một ô một cách tùy ý. Chứng minh rằng luôn tồn tại hai ô vuông có chung cạnh mà hiệu các số ghi trong chúng không nhỏ hơn 6

Cho bảng ô vuông kích thước 9 x 9. Người ta điền các số 1, 2, ..., 81 vào các ô vuông của bảng, mỗi ô vuông một số và không có hai ô vuông nào điền số giống nhau theo một thứ tự nào đó. Chứng minh rằng tồn tại một bảng con 2 x 2 sao cho tổng các số trong bảng con này lớn hơn 137.

b) Trên bảng ô vuông kích thước 6x6 ấy ta viết các số tự nhiên từ 1 đến 36, mỗi số viết vào một ô một cách tuỳ ý. CMR luôn tồn tại hai ô vuông chung cạnh mà hiệu các số ghi trong chúng không nhỏ hơn 4

Trong 1 bảng vuông gồm 5x5 ô vuông người ta viết vào mỗi ô vuông một trong 3 số 1 ; 0 ; -1 sao cho mỗi ô vuông có đúng 1 số CMR : trong các tổng của 5 số theo mỗi cột , mỗi hàng, mỗi đường chéo phải có ít nhất 2 tổng số bằng nhau.

Trên bảng ô vuông kích thước 2020, ta viết các số tự nhiên từ 1 đến 400, mỗi số viết vào một ô một cách tùy ý. Chứng minh rằng luôn tồn tại hai ô vuông có chung cạnh mà hiệu các số ghi trong chúng không nhỏ hơn 11.