a. Đề bài sai (thực chất là nó đúng 1 cách hiển nhiên nhưng "dạng" thế này nó sai sai vì ko ai cho kiểu này cả)

Ta có: \(abc=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\ge27\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+5abc\ge a^2+b^2+c^2+5.27>>>>>8\)

b. 

\(4=ab+bc+ca+abc=ab+bc+ca+\sqrt{ab.bc.ca}\le ab+bc+ca+\sqrt{\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3}\)

\(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}=t\Rightarrow t^3+3t^2-4\ge0\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow t\ge1\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge3\)

- TH1: nếu \(a+b+c\ge4\)

Ta có: \(ab+bc+ca=4-abc\le4\)

\(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+5abc\ge4^2-2.4+0=8\)

(Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;0\right)\) và các hoán vị)

- TH2: nếu \(3\le a+b+c< 4\)

Đặt \(a+b+c=p\ge3;ab+bc+ca=q;abc=r\)

\(P=p^2-2q+5r=p^2-2q+5\left(4-q\right)=p^2-7q+20\)

Áp dụng BĐT Schur:

\(4=q+r\ge q+\dfrac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\Leftrightarrow q\le\dfrac{p^3+36}{4p+9}\)

\(\Rightarrow P\ge p^2-\dfrac{7\left(p^3+36\right)}{4p+9}+20=\dfrac{3\left(4-p\right)\left(p-3\right)\left(p+4\right)}{4p+9}+8\ge8\)

(Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\))

BĐT bị ngược dấu, BĐT đúng phải là:

\(\dfrac{a}{ac+4}+\dfrac{b}{ab+4}+\dfrac{c}{bc+4}\le\dfrac{a^2+b^2+c^2}{16}\)

bấm vào chữ 0 đúng sẽ ra đáp án 

Ta có:

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{abc}\)

\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)

\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)

DO:

\(\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge9+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=9+21=30\)

\(\Rightarrow DPCM\)

Tích t vs ku

Dựa vào điều kiện xuy ra được trong 3 xô: \(\left(1-a\right);\left(1-b\right);\left(1-c\right)\)co 2 xô cùng dâu. Giả xư đo là \(\left(1-a\right);\left(1-b\right)\)

\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\)

Ta lại co:

\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge c^2+2ab+abc\)

\(\Leftrightarrow ab\left(2+c\right)\le4-c^2\)

\(\Leftrightarrow ab\le2-c\)

Quay lại bài toan ta co:

\(ab+bc+ca-abc\le2+\text{​​}\left(bc+ca-abc-c\right)=2-c\left(1-a\right)\left(1-b\right)\le2\)

Thì mỗi người mỗi sở thích mà :)

tại sao cậu cứ đăng câu hỏi tớ ghét cậu

Ta có:

a = b + c

\(\Leftrightarrow a^4=b^4+4b^3c+6b^2c^2+4b^3c+c^4\)

Từ đây ta có

a⁴ + b⁴ + c⁴ = b⁴ + 4b³ c + 6b² c² + 4bc³ + c⁴ + b⁴ + c⁴

= 2[(b⁴ + 2b² c² + c⁴) + 2(cb³ + bc³) + b² c²]

= 2[(b² + c²)² + 2bc(b² + c²) + b² c²]

= 2(b² + c² + bc)²

\(\Rightarrow\)ĐPCM