Lời giải:
$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=2013$

$\Rightarrow (a+b)^3=3ab(a+b)+2013\vdots 3$

$\Rightarrow a+b\vdots 3$

$\Rightarrow (a+b)^3\vdots 27$ và $3ab(a+b)\vdots 9$

Do đó:

$2013=(a+b)^3-3ab(a+b)\vdots 9$ 

Điều này vô lý do $2013\not\vdots 9$

Vậy không tồn tại $a,b$ nguyên thỏa mãn đề.

từ đề bài=> a²+2\(\sqrt{2}\)ab+2b²=2012-\(\sqrt{2}\). 2011
               =>a²+2b²-2012 =-\(\sqrt{2}\) . (2011-2ab)
               =>(a²+2b²-2012)²= 2(2011-2ab)^2
=> (a²+2b²-2012)²≡0(mod2) mà 2 là số nguyên tố
 =>a²+2b²-2012≡0(mod2)
=> (a²+2b²-2012)²≡0(mod4) (1)
 ta có 2011-2ab là số lẻ vì 2ab chẵn=>(2011-2ab)²lẻ
=> 2(2011-2ab)² chỉ chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (2)

từ (1) và (2)=> (a²+2b²-2012)²= 2(2011-2ab)² vô lí 
Vậy không tồn tại số nguyên a,b thoả mãn (a+b√2)² = 2012 + 2011√2

- Theo đề bài :
\(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\)
=) \(\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{1}{a-b}\)
=) \(\frac{b-a}{ab}=\frac{1}{a-b}\)=) \(\left(b-a\right).\left(a-b\right)=ab\)
Mà vế trái sẽ mang dấu âm còn vế phải mang dấu dương
Mà số âm khác số dương
=)\(\left(b-a\right).\left(a-b\right)\ne ab\)
=) \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\ne\frac{1}{a-b}\)
=)  Không tồng tại hai số a,b ( \(a,b\in N,a\ne b\)) thỏa mãn đẳng thức : \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\)
=) Đpcm