Question

CMR không tồn tại số nguyên a,b thoả mãn (a+b√2)² = 2012 + 2011√2

Answer 1

từ đề bài=> a²+2\(\sqrt{2}\)ab+2b²=2012-\(\sqrt{2}\). 2011
               =>a²+2b²-2012 =-\(\sqrt{2}\) . (2011-2ab)
               =>(a²+2b²-2012)²= 2(2011-2ab)^2
=> (a²+2b²-2012)²≡0(mod2) mà 2 là số nguyên tố
 =>a²+2b²-2012≡0(mod2)
=> (a²+2b²-2012)²≡0(mod4) (1)
 ta có 2011-2ab là số lẻ vì 2ab chẵn=>(2011-2ab)²lẻ
=> 2(2011-2ab)² chỉ chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (2)

từ (1) và (2)=> (a²+2b²-2012)²= 2(2011-2ab)² vô lí 
Vậy không tồn tại số nguyên a,b thoả mãn (a+b√2)² = 2012 + 2011√2