a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC

b: Ta có: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC

nên AE/AF=AB/AC
hay AE/AB=AF/AC

Xét ΔAEF và ΔABC có 

AE/AB=AF/AC

\(\widehat{EAF}\) chung

DO đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC

b: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

góc BAE chung

=>ΔABE đồng dạng vớiΔACF

=>AB/AC=AE/AF

=>AB*AF=AC*AE

c: XétΔABC có

BE,CF là đường cao

BE cắt CF tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc BC

a: Xét tứ giác BFEC có

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp

=>góc BFE+góc BCE=180 độ

=>góc AFE=góc ACB

mà góc FAE chung

nên ΔAFE đồng dạng với ΔACB

b: Xét tứ giác BFHD có

góc BFH+goc BDH=180 độ

=>BFHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CEHD có

góc CEH+góc CDH=180 độ

=>CEHD là tứ giác nội tiếp

góc FDH=góc FBH

góc EDH=góc ACF

mà góc FBH=góc ACF

nên góc FDH=góc EDH

=>DH là phân giác của góc FDE(1)

góc EFH=góc CAD

góc DFH=góc EBC

mà góc CAD=góc EBC

nên góc EFH=góc DFH

=>FH là phân giác của góc EFD(2)

Từ (1), (2) suy ra H là giao của ba đường phân giác của ΔDEF

c: Xét ΔBHD vuông tại D và ΔBCE vuông tại E có

góc HBD chung

=>ΔBHD đồg dạng với ΔBCE

=>BH/BC=BD/BE

=>BH*BE=BC*BD

Xét ΔCDH vuông tại Dvà ΔCFB vuông tại F có

góc FCB chung

=>ΔCDH đồng dạng với ΔCFB

=>CD/CF=CH/CB

=>CD*CB=CH*CF
=>BH*BE+CH*CF=BC^2

Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có

\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\)

Do đó: ΔFHB\(\sim\)ΔEHC

Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có

\(\widehat{DBH}\) chung

Do đó: ΔBDH\(\sim\)ΔBEC
Suy ra: BD/BE=BH/BC

hay \(BD\cdot BC=BE\cdot BH\)

Xét ΔCDH vuông tại D và ΔCFB vuông tại F có

\(\widehat{DCH}\) chung

Do đó: ΔCDH~ΔCFB

=>\(\dfrac{CD}{CF}=\dfrac{CH}{CB}\)

=>\(CD\cdot CB=CH\cdot CF\)

\(BH\cdot BE+CH\cdot CF\)

\(=BD\cdot BC+CD\cdot BC=BC\left(BD+CD\right)=BC^2\)

a: Xét ΔHFA vuông tại F và ΔHDC vuông tại D có

\(\widehat{FHA}=\widehat{DHC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHFA~ΔHDC

=>\(\dfrac{HF}{HD}=\dfrac{HA}{HC}\)

=>\(HF\cdot HC=HD\cdot HA\left(1\right)\)

Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có

\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHFB~ΔHEC
=>\(\dfrac{HF}{HE}=\dfrac{HB}{HC}\)

=>\(HF\cdot HC=HB\cdot HE\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(HA\cdot HD=HF\cdot HC=HB\cdot HE\)

c: Xét tứ giác AFHE có \(\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AFHE là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFHD có \(\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CEHD có \(\widehat{CEH}+\widehat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CEHD là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{EFH}=\widehat{EAH}\)(AEHF là tứ giác nội tiếp)

\(\widehat{DFH}=\widehat{DBH}\)(BFHD là tứ giác nội tiếp)

mà \(\widehat{EAH}=\widehat{DBH}\left(=90^0-\widehat{ECB}\right)\)

nên \(\widehat{EFH}=\widehat{DFH}\)

=>FH là phân giác của góc EFD

Ta có: \(\widehat{FEH}=\widehat{FAH}\)(AEHF là tứ giác nội tiếp)

\(\widehat{DEH}=\widehat{DCH}\)(ECDH là tứ giác nội tiếp)

mà \(\widehat{FAH}=\widehat{DCH}\left(=90^0-\widehat{ABD}\right)\)

nên \(\widehat{FEH}=\widehat{DEH}\)

=>EH là phân giác của góc FED

Xét ΔFED có

EH,FH là các đường phân giác

Do đó: H là giao điểm của ba đường phân giác trong ΔFED

a) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có 

\(\widehat{BAC}\) chung

Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có 

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)(cmt)

\(\widehat{EAF}\) chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC(c-g-c)

a: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

góc BAE chung

Do đó: ΔABE\(\sim\)ΔACF

Suy ra: AB/AC=AE/AF

hay \(AB\cdot AF=AC\cdot AE\)

b: Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có

góc DBH chung

Do đó: ΔBDH\(\sim\)ΔBEC
Suy ra: BD/BE=BH/BC

hay \(BD\cdot BC=BH\cdot BE\)