Tớ thiếu chỗ : Gọi ƯCLN ( a²+a-1; a²+a+1 ) là d 

a ) Ta có \(A=\frac{a^3+2a^2-1}{a^3+2a^2+2a+1}=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\)

Điều kiện đúng A ≠ - 1

b ) Gọi ƯCLN ( a²+a-1; a²+a+1 )

Vì a² + a + 1 = a ( a + 1 ) - 1 là số lẻ nên d là số lẻ

Mặt khác , 2 = [ ( a²+a+1 ) - ( a²+a-1 ) ] ⋮ d

Nên d = 1 tức là a²+a+1 và a²+a-1 là nguyên tố cùng nhau

⇒ Biểu thức A là phân số tối giản

a, A = \(\frac{a^3+2a^2-1}{a^3+2a^2+2a+1}=\frac{a^2\left(a+1\right)+\left(a+1\right)\left(a-1\right)}{a^2\left(a+1\right)+a\left(a+1\right)+\left(a+1\right)}=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\)

b, Gọi UCLN(a² + a - 1,a² + a + 1) là d

Ta có: a² + a - 1 \(⋮\)d

          a² + a + 1 \(⋮\)d

=> (a² + a - 1) - (a² + a + 1) \(⋮\)d

=> 2 \(⋮\)d => d = {1;-1;2;-2}

Mà a² + a - 1 = a(a + 1) - 1 lẻ => d lẻ => d không thể bằng 2;-2 => d = {1;-1}

Vậy A tối giản

a) \(A=\frac{a^3+2a^2-1}{a^3+2a^2+2a+1}\)

\(\Rightarrow A=\frac{\left(a^3+a^2\right)+\left(a^2-1\right)}{\left(a^3+a^2\right)+\left(a^2+a\right)+\left(a+1\right)}\)

\(\Rightarrow A=\frac{a^2\left(a+1\right)+\left(a+1\right)\left(a-1\right)}{a^2\left(a+1\right)+a\left(a+1\right)+a\left(a+1\right)}\)

\(\Rightarrow A=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2+a+1\right)}\)

\(\Rightarrow A=\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\)

Vậy biểu thức \(A\) khi được rút gọn là \(\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\)

b) Gọi \(ƯCLN\left(a^2+a-1;a^2+a+1\right)=d\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^2+a-1⋮d\\a^2+a+1⋮d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left(a^2+a+1\right)-\left(a^2+a-1\right)=2⋮d\)

\(\Rightarrow d=\left\{\pm1;\pm2\right\}\left(1\right)\)

Lại có:

Nếu \(a\) là số lẻ thì:

\(\left\{\begin{matrix}a^2+a+1\\a^2+a-1\end{matrix}\right.\) là số lẻ

Nếu \(a\) là số chẵn thì:

\(\left\{\begin{matrix}a^2+a+1\\a^2+a-1\end{matrix}\right.\) là số lẻ

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^2+a+1\\a^2+a-1\end{matrix}\right.\) là số lẻ \(\forall a\) hay hai số này không có ước chẵn \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\)

\(\Rightarrow d=\left\{\pm1\right\}\)

Vậy nếu \(a\) là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu \(a\), là một phân số tối giản (Đpcm)

12345678

\(A=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\left(a+6\right)+36\)

\(A=a\left(a+6\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\left(a+1\right)+36\)

\(A=\left(a^2+6a\right)\left(a^2+6a+8\right)\left(a^2+6a+5\right)+36\)

Đặt t = a² +6a. Khi đó phương trình trở thành:

\(A=t\left(t+8\right)\left(t+5\right)+36\)

\(A=t\left(t^2+13t+40\right)+36\)

\(A=t^3+13t^2+40t+36\)

\(A=t^3+2t^2+11t^2+22t+18t+36\)

\(A=t^2\left(t+2\right)+11t\left(t+2\right)+18\left(t+2\right)\)

\(A=\left(t+2\right)\left(t^2+11t+18\right)\)

\(A=\left(t+2\right)\left(t^2+2t+9t+18\right)\)

\(A=\left(t+2\right)\left[t\left(t+2\right)+9\left(t+2\right)\right]\)

\(A=\left(t+2\right)\left(t+2\right)\left(t+9\right)\)

\(A=\left(t+2\right)^2\left(t+9\right)\)

Thế t = a² + 6a vào A ta được:

\(A=\left(a^2+6a+2\right)^2\left(a^2+6a+9\right)\)

\(A=\left(a+3\right)^2\left(a^2+6a+2\right)^2\)

\(A=\left[\left(a+3\right)\left(a^2+6a+2\right)\right]^2\)

Vậy với mọi số nguyên a thì giá trị của biểu thức A luôn là một số chính phương

a: \(A=\left(\dfrac{2+x}{2-x}-\dfrac{4x^2}{x^2-4}-\dfrac{2-x}{2+x}\right):\dfrac{2\left(x-3\right)}{2-x}\)

\(=\dfrac{4+4x+x^2+4x^2-\left(2-x\right)^2}{\left(2-x\right)\left(2+x\right)}\cdot\dfrac{2-x}{2\left(x-3\right)}\)

\(=\dfrac{5x^2+4x+4-4+4x-x^2}{\left(2+x\right)}\cdot\dfrac{1}{2\left(x-3\right)}\)

\(=\dfrac{4x^2+8x}{x+2}\cdot\dfrac{1}{2\left(x-3\right)}=\dfrac{4x\left(x+2\right)}{2\left(x+2\right)}\cdot\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{2x}{x-3}\)

b: |x-2|=2

=>x-2=2 hoặc x-2=-2

=>x=0(nhận) hoặc x=4(nhận)

Khi x=0 thì \(A=\dfrac{2\cdot0}{0-3}=\dfrac{-2}{3}\)

Khi x=4 thì \(A=\dfrac{2\cdot4}{4-3}=8\)

c: A>0

=>x/x-3>0

=>x>3 hoặc x<0

=>x>3

\(A=\dfrac{x-9}{3+\sqrt{x}}\) (đề như này pk?)

a) Để A có nghĩa \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\3+\sqrt{x}\ne0\left(lđ\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x\ge0\)

b) \(A=\dfrac{x-9}{3+\sqrt{x}}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{3+\sqrt{x}}=\sqrt{x}-3\)

c) Với x=0 (tmđk) thay vào A ta được: \(A=\sqrt{0}-3=-3\)

Với x=-1 (ktm đk)

Với x=16 (tmđk) thay vào A ta được: \(A=\sqrt{16}-3=1\)

d) \(A\in Z\Leftrightarrow\sqrt{x}-3\in Z\Leftrightarrow\sqrt{x}\in Z\) \(\Leftrightarrow\) x là số chính phương