Đặt \(\sqrt{x^2+y^2}=c;\sqrt{y^2+z^2}=a;\sqrt{z^2+x^2}=b\)

Ta có:

\(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)

\(\ge\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{2\left(z^2+x^2\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{c^2+b^2-a^2}{a}+\frac{a^2+c^2-b^2}{b}+\frac{b^2+a^2-c^2}{c}\right)\)

\(\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}-2018\right)=\frac{1009}{\sqrt{2}}\)

\(M^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2xy}{\sqrt{yz}}+\frac{2yz}{\sqrt{zx}}+\frac{2xz}{\sqrt{yz}}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)

Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2}{y}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.z}=4x\)

tương tự \(\frac{y^2}{z}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+x\ge4y\);\(\frac{z^2}{x}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+y\ge4z\)

=>\(M^2+x+y+z\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow M^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge3.12=36\Rightarrow M\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4

Vậy minM=6 khi x=y=z=4

b1: Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta được:

\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+y+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

=>minP=1 <=> x=y=z=2/3

đúng đề k :v

đúng mà, sao thế :))

bạn vào trang này nhé có bài như thến này đấy 

//123doc.org//document/3173507-ren-luyen-chuyen-de-tim-maxmin-on-thi-thpt-quoc-gia.htm

tính diện tích hình vẽ dưới đây

\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)

\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)

\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)

\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)

Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

\(A=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\)

Có BĐT phụ \(\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{\frac{-x^2\left(27x^6-54x^4+27x^2-4\right)}{4\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)^2}}{\frac{x}{1-x^2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2}\ge0\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:

\(\frac{y}{1-y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2;\frac{z}{1-z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\)

Cộng theo vế  3 BĐT trên ta có;

\(A\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Bài này ngoài cách này còn có 1 cách khá trâu mà giờ mỏi v~ ý cần thêm thì ib 

Bài làm thì m không ý kiến nhưng mà m nghĩ cái bất đẳng thức phụ bác nên chứng minh lại đi. Ai lại cố gắng làm cho nó thành 1 đống rồi khẳng định đống đó là đúng bao giờ. Làm thế thì không phải bài chứng minh rồi.

Ý hungnguyn là c/m hết à .-. 

\(\frac{x}{1-x^2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(\frac{x}{1-x^2}\right)^2-\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\right)^2}{\frac{x}{1-x^2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\frac{x^2}{x^4-2x+1}-\frac{27x^4}{4}}{\frac{x}{1-x^2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\frac{-x^2\left(27x^6-54x^4+27x^2-4\right)}{4\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)^2}}{\frac{x}{1-x^2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\frac{-x^2\left(3x^2-4\right)\left(3x^2-1\right)^2}{4\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)^2}}{\frac{x}{1-x^2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2}\ge0\) tự đánh giá nốt nhé .-.