Ta có 

\(P^2=2x^2+2x+18-2\sqrt{\left(x^2-4x+5\right)\left(x^2+6x+13\right)}\)

Xét \(P^2\le26\)

=> \(\sqrt{\left(x^2-4x+5\right)\left(x^2+6x+13\right)}\ge x^2+x-4\)

<=> \(\left(x^2-4x+5\right)\left(x^2+6x+13\right)\ge\left(x^2+x-4\right)^2\)

<=> \(x^2-14x+49\ge0\)

<=> \(\left(x-7\right)^2\ge0\)( luôn đúng)

=> \(P\le\sqrt{26}\)'

Vậy \(MaxP=\sqrt{26}\)khi x=7

Lời giải:

Ta có:

\(A^2=(\sqrt{x^2-4x+5}-\sqrt{x^2+6x+13})^2=2x^2+2x+18-2\sqrt{(x^2-4x+5)(x^2+6x+13)}(*)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((x^2-4x+5)(x^2+6x+13)=[(x-2)^2+1^2][(x+3)^2+2^2]\)

\(\geq [(x-2)(x+3)+1.2]^2=(x^2+x-4)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{(x^2-4x+5)(x^2+6x+13)}\geq |x^2+x-4|\geq x^2+x-4(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow A^2\leq 2x^2+2x+18-2(x^2+x-4)\)

\(\Leftrightarrow A^2\leq 26\Rightarrow A\leq \sqrt{26}\)

Vậy $A_{\max}=\sqrt{26}$. Dấu "=" xảy ra khi $x=7$

Không chắc lắm nha! Phần BĐT phụ mình có đc là nhờ sách nâng cao nên ms làm đc thôi!

Ta c/m BĐT phụ: \(\left|\sqrt{f^2+g^2}-\sqrt{h^2+k^2}\right|\le\sqrt{\left(f-h\right)^2+\left(g-k\right)^2}\) với f - h;g-k là hằng số. (1)

Bình phương hai vế,ta có: \(BĐT\Leftrightarrow f^2+g^2+h^2+k^2-2\sqrt{\left(f^2+g^2\right)\left(h^2+k^2\right)}\le f^2+h^2-2fh+g^2+k^2-2gk\)

\(\Leftrightarrow fh+gh\le\sqrt{\left(f^2+g^2\right)\left(h^2+k^2\right)}\) (2)

Nếu fh + gh < 0 thì (2) đúng

Nếu fh + gh >= 0 thì \(\left(2\right)\Leftrightarrow f^2h^2+g^2k^2+2fhgi\le f^2h^2+f^2k^2+g^2h^2+g^2k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(fk-gh\right)^2\ge0\)(đúng)

Dấu "=" xảy ra fk = gh và fh + gk >= 0 (trích chứng minh BĐT ở sách 9 chuyên đề đại số THCS_ Vũ Hữu Bình)

Quay lại bài toán,ta có: \(P=\left|\sqrt{\left(x-2\right)^2+1^2}-\sqrt{\left(x+3\right)^2+2^2}\right|\)

\(\le\sqrt{\left(-5\right)^2+\left(1-2\right)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\)

Dấu "=" xảy ra khi 2(x-2) = 1(x+3) và (x-2)(x+3) + 1(x+3) >=0

Tức là x = 7 (t/m)