Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). ĐIểm M nằm trên tia đối của tia BD sao cho MA, MC là hai tiếp tuyến của (O) (A, C là hai tiếp điểm). Tiếp tuyến tại B của (O) cắt MC tại N và CD tại P. ND cắt (O) tại E khác D.
a. Chứng minh AC.BD = 2BC.AD ; BC.DE = 2CE.DB .
b. Chứng minh ba điểm E; A; P thẳng hàng
Những câu hỏi liên quan
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R). Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD (A,B,C,D thuộc đường tròn tâm O), tia MC nằm giữa hai tia MO và MA. Gọi H là giao điểm của AB và MO.a/ CM tứ giác MAOB nội tiếp.b/ Gọi K là trung điểm CD. Chứng minh 5 điểm M, A, K, O, B cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra KM là phân giác của góc AKB.c/ Đường thẳng OK cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh ND là tiếp tuyến đường tròn (O)
Đọc tiếp
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R). Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD (A,B,C,D thuộc đường tròn tâm O), tia MC nằm giữa hai tia MO và MA. Gọi H là giao điểm của AB và MO.
a/ CM tứ giác MAOB nội tiếp.
b/ Gọi K là trung điểm CD. Chứng minh 5 điểm M, A, K, O, B cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra KM là phân giác của góc AKB.
c/ Đường thẳng OK cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh ND là tiếp tuyến đường tròn (O)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm). Hạ CH vuông góc với AB, đường thẳng MB cắt đường tròn (O) tại Q và cắt CH tại N. Gọi giao điểm của MO và AC là I. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AMQI nội tiếp; b) Góc AQI = ACO; c) CN = NH d)tia AN cắt MC tại E. CM tứ giác COBE nội tiếp
Bài 4: (3 điểm) Từ điểm M nằm ngoài (O,R), kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A và
B là các tiếp điểm). Gọi N là trung điểm của MA; BN cắt (O) tại C. a/ Chứng minh: Tử giác MAOB nội tiếp và N * A ^ 2 =NB.NC . b/ Tia MC cắt (O) tại điểm thứ hai D. Chứng minh BD = AM. c/ Gọi I là trung điểm của CD; K là giao điểm của AB và CD, Chứng minh: MC .MD=MI.MK
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MC với đường tròn (A, C là tiếp điểm). Qua M kẻ các tuyến MBD (B thuộc cung nhỏ AC). Tiếp tuyến tại B với đường tròn (O) cắt MC tại N và cắt CD tại P; ND cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh rằng ba điểm A, E, P thẳng hàng
Dễ thấy \(\Delta MCB~\Delta MDC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{MC}{MD}=\frac{BC}{CD}\)( 1 )
\(\Delta MAB~\Delta MDA\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{MA}{MD}=\frac{AB}{AD}\)( 2 )
Lại có MA = MC . Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow AD.BC=AB.CD\)
Áp dụng định lí Ploleme với tứ giác ABCD, ta có :
\(AB.CD+AD.BC=AC.BD\)
\(\Rightarrow BC.AD=AC.BD-AB.CD=\frac{1}{2}AC.BD\)
\(\Rightarrow\frac{AC}{AD}=\frac{2BC}{BD}\)( 3 )
\(\Delta NBE~\Delta NDB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{NB}{ND}=\frac{BE}{DB}\); \(\Delta NCE~\Delta NDC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{NC}{ND}=\frac{CE}{CD}\)
lại có : NB = NC \(\Rightarrow\frac{BE}{BD}=\frac{CE}{CD}\Rightarrow BE.CD=CE.BD\)
Áp dụng định lí Ptoleme với tứ giác BECD, ta có :
\(BE.CD+CE.BD=BC.DE\Rightarrow BE.CD=CE.BD=\frac{1}{2}BC.DE\)
\(\Delta PBC~\Delta PDB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{PC}{PB}=\frac{PB}{PD}\Rightarrow PC.PD=PB^2\)
Mà \(\frac{PC}{PB}=\frac{PB}{PD}=\frac{BC}{BD}\)
Mặt khác : \(\frac{PC}{PD}=\frac{PC.PD}{PD^2}=\left(\frac{PB}{PD}\right)^2=\left(\frac{BC}{BD}\right)^2\)( 4 )
suy ra : \(\frac{PC}{PD}=\left(\frac{BC}{BD}\right)^2=\left(\frac{2CE}{DE}\right)^2\)
giả sử AE cắt CD tại Q
\(\Rightarrow\Delta QEC~\Delta QDA\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{QC}{QD}=\left(\frac{2CE}{DE}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{QC}{QD}=\frac{PC}{PD}\Rightarrow P\equiv Q\)
Vậy 3 điểm A,E,P thẳng hàng
v mình quên nối AE cắt CD. hay là nối 3 điểm A,E,P mà thôi, không sao.
Cho điểm M nằm ngoài (O;R). Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD (tia MC nằm giữa tia MO và MA). Gọi H là giao điểm của OM và AB.a/ Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếpb/ K là trung điểm CD. Chứng minh 5 điểm M, A, K, O, B cùng thuộc 1 đường tròn. Suy ra KM là phân giác của góc AKB.c/ Đường thẳng OK cắt AB tại N. Chứng minh ND là tiếp tuyến của (O)d/ Vẽ đường kính BE của đường tròn (O). Từ C vẽ đường thẳng song song với OM cắt các đường thẳng BE và ED lần lượt tại I và P. Chứng minh I là...
Đọc tiếp
Cho điểm M nằm ngoài (O;R). Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD (tia MC nằm giữa tia MO và MA). Gọi H là giao điểm của OM và AB.
a/ Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp
b/ K là trung điểm CD. Chứng minh 5 điểm M, A, K, O, B cùng thuộc 1 đường tròn. Suy ra KM là phân giác của góc AKB.
c/ Đường thẳng OK cắt AB tại N. Chứng minh ND là tiếp tuyến của (O)
d/ Vẽ đường kính BE của đường tròn (O). Từ C vẽ đường thẳng song song với OM cắt các đường thẳng BE và ED lần lượt tại I và P. Chứng minh I là trung điểm CP.
cho 2 đường tròn o và o tiếp xúc ngoài tại a. Trên tia Ax vuông góc với OO' lấy một điểm M. Vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O),tiếp tuyến MC với đường tròn (O'), tia BO cắt tia CO tại N a. Chứng minh : MA=MB=MC b. Chứng minh tứ giác MBNC nội tiếp c. Chứng minh BC ⊥ MN
a.Có MA,MB là tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M (gt)
=> MA=MB
Có MA,MC là tiếp tuyến của (O') cắt nhau tại M (gt)
=> MA=MC
Bắc cầu ta được MA=MB=MC
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài 1: Điểm C nằm giữa hai điểm A và B. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AB và đường tròn tâm O đường kính BC. Vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc với đường tròn tâm O và tâm O tại D và E. AD cắt BE tại Ma) tam giác MAB là tam giác j?b) chứng minh CDME là hình chữ nhật và MC là tiếp tuyến của 2 đường tròn tâm O và tâm Oc) Kẻ tia Ex vuông góc với EA và tia By vuông góc với BA. Ex cắt By tại N. Chứng minh 3 điểm D,C.N thẳng hàng.Bài 2: Cho (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại...
Đọc tiếp
Bài 1: Điểm C nằm giữa hai điểm A và B. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AB và đường tròn tâm O' đường kính BC. Vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc với đường tròn tâm O và tâm O' tại D và E. AD cắt BE tại M
a) tam giác MAB là tam giác j?
b) chứng minh CDME là hình chữ nhật và MC là tiếp tuyến của 2 đường tròn tâm O và tâm O'
c) Kẻ tia Ex vuông góc với EA và tia By vuông góc với BA. Ex cắt By tại N. Chứng minh 3 điểm D,C.N thẳng hàng.
Bài 2: Cho (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt (O') tại D. Tiếp tuyến tại A của (O') cắt (O) tại C. Chứng minh rằng:
a) tam giác ABC đồng dạng với tam giác DBA
b) (AC/AD)^2 ( AC trên AD tất cả mũ 2) = BC/BD( AC trên AD tất cả mũ 2 bằng BC/BD)
c) Gọi E là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh ACED là tứ giác nội tiếp.
Cho đường tròn tâm O đương kính AB. Điểm M là 1 điểm cố định trên tiếp tuyến tại A của (O). Vẽ tiếp tuyến MC và cát tuyến MHK(H nằm giữa M và K, tia MK nằm giữa tia M và tia MB). Các đường thẳng BH và BK cắt đường thẳng MO lần lượt tại E và F. Đường thẳng qua A sông song với MK cắt đường tròn tại I. CI cắt MK tại N.a. CMR: tứ giác MCHE nội tiếpb. Lấy i thuộc (O) sao cho AI//MC. cM: NH NKc. CMR:OEOF
Đọc tiếp
Cho đường tròn tâm O đương kính AB. Điểm M là 1 điểm cố định trên tiếp tuyến tại A của (O). Vẽ tiếp tuyến MC và cát tuyến MHK(H nằm giữa M và K, tia MK nằm giữa tia M và tia MB). Các đường thẳng BH và BK cắt đường thẳng MO lần lượt tại E và F. Đường thẳng qua A sông song với MK cắt đường tròn tại I. CI cắt MK tại N.
a. CMR: tứ giác MCHE nội tiếp
b. Lấy i thuộc (O) sao cho AI//MC. cM: NH = NK
c. CMR:OE=OF
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Vẽ tia tiếp tuyến Ax. Từ điểm M trên Ax kẻ MC (C nằm trên nữa đường tròn và khác A) sao cho MA bằng MC. Nối M với O; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D.
a. Chứng minh: AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn.
b. Chứng minh: MC là tiếp tuyến; MC2 = MD.MB.
a: Xét ΔMAO và ΔMCO có
MA=MC
AO=CO
MO chung
=>ΔMAO=ΔMCO
=>góc MCO=90 độ
góc MAO+góc MCO=180 độ
=>MAOC nội tiếp đường tròn đường kính MO
=>I là trung điểm của MO
b: góc MCO=90 độ
=>MC là tiếp tuyến của (O)
Xét ΔMCD và ΔMBC có
góc MCD=góc MBC
góc CMD chung
=>ΔMCD đồng dạng với ΔMBC
=>MC/MB=MD/MC
=>MC^2=MB*MD
Đúng 0
Bình luận (0)