Cho a,b,c là ba số thực dương .Chứng minh bất đẳng thức :
(a^3+b^3+c^3)/2abc +(a^2+b^2)/(ab+c^2) + (b^2+c^2)/(bc+a^2) +(c^2+a^2)/(ca+b^2) >= 9/2
Những câu hỏi liên quan
Cho a b c là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
(a^3+b^3+c^3)/2abc + (a^2+b^2)/(ab+c^2) + (b^2+c^2)/(bc+a^2) + (c^2+a^2)/(ca+b^2) >= 9/2
Ta có \(\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2bc}\)
Áp dụng BĐT cosi schwarz:
\(VT\ge\frac{\left(3a+3b+3c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+4\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{9}{2}\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a,b,c là ba số thực dương. chứng minh bất đẳng thức
\(\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+\frac{a^2+b^2}{ab+c^2}+\frac{b^2+c^2}{bc+a^2}+\frac{c^2+a^2}{ca+b^2}\ge\frac{9}{2}\)
chứng minh bất đẳng thức: \(\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2}{b^2+ac}\ge\frac{9}{2}\)trong đó a,b,c là số thực dương.
cho a,b,c là các số thực dương chứng minh (a^3+b^3+c^3)/2abc+(a^2+b^2)/(ab+c^2)+(b^2+c^2)/(bc+a^2)+(c^2+a^2)/(ca+b^2)<9/2
Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng:
\(2abc\left(a+b+c\right)\le\frac{5}{9}+a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2\)
TA CÓ:
\(a^4b^2+b^4c^2\ge2a^2b^3c,b^4c^2+c^4a^2\ge2b^2c^3a,c^4a^2+a^4b^2\ge2c^2a^3b\)
\(\Rightarrow a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2+\frac{5}{9}\ge a^2b^3c+b^2c^3a+c^2a^3b+\frac{5}{9}\)
ĐẶT \(ab=x,bc=y,ca=z\Rightarrow x+y+z=1\)
\(\Rightarrow a^2b^3c+b^2c^3a+c^2a^3b+\frac{5}{9}=x^2y+y^2z+z^2x+\frac{5}{9}\)
TA CẦN C/M:
\(x^2y+y^2z+z^2x+\frac{5}{9}\ge2\left(xy+yz+zx\right)\) \(\left(=2abc\left(a+b+c\right)\right)\)
ÁP DỤNG BĐT BUNHIA TA CÓ:
\(\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\) DO:\(\left(x+y+z=1\right)\)
VẬY CẦN C/M:
\(\left(xy+yz+zx\right)^2+\frac{5}{9}\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
XÉT HIỆU:
\(\left(xy+yz+zx\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)+1-\frac{4}{9}=\left(xy+yz+zx-1\right)^2-\frac{2^2}{3^2}\)
\(=\left(xy+yz+zx-\frac{1}{3}\right)\left(xy+yz+zx-\frac{5}{3}\right)\)
VÌ:
\(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow xy+yz+zx-\frac{1}{3}\le0\)
\(\Rightarrow\left(xy+yz+zx-\frac{1}{3}\right)\left(xy+yz+zx-\frac{5}{3}\right)\ge0\)
\(\Rightarrow DPCM\)
Bài này mình có hỏi trên mạng ấy bạn bài này nhiều cách lắm tại mình thấy cách này dễ hiểu nên gửi cho b
Đúng 0
Bình luận (0)
Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)
Ta viết BĐT lại thành:\(\frac{5}{9}\left(ab+bc+ca\right)^3+a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2\ge2abc\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(VT-VP=(a-b)^2(a^2c^2+\frac{17}{9}abc^2+b^2c^2+\frac{5}{9}ac^3+\frac{5}{9}bc^3)+(a-c)(b-c)(a^3b+\frac{5}{9}a^2b^2+a^3c+\frac{11}{9}a^2bc+\frac{2}{9}ab^2c+a^2c^2)\ge0\)
\(\dfrac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}\)+\(\dfrac{\sqrt{ca}}{b+2\sqrt{ca}}\)+\(\dfrac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}\) ≤ 1 cho a,b,c là 3 số dương. Chứng minh các BĐT sau
-Mình thử trình bày cách làm của mình nhé, bạn xem thử có gì sai sót không hoặc chỗ nào bạn không hiểu thì hỏi mình nhé.
Đúng 0
Bình luận (2)
Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh bất đẳng thức sau \(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca} \geq \dfrac{3}{2}\)
Cho a,b,c là 3 số thực dương, tìm GTNN của biểu thức
\(P=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2}{b^2+ca}\)
\(P=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+\frac{a^2c+b^2c}{c^3+abc}+\frac{b^2a+c^2a}{a^3+abc}+\frac{c^2b+a^2b}{b^3+abc}\)
\(\ge\frac{a^3}{2abc}+\frac{b^3}{2abc}+\frac{c^3}{2abc}+\frac{2abc}{c^3+abc}+\frac{2abc}{a^3+abc}+\frac{2abc}{b^3+abc}\)
\(=\left(\frac{a^3}{2abc}+\frac{2abc}{a^3+abc}\right)+\left(\frac{b^3}{2abc}+\frac{2abc}{b^3+abc}\right)+\left(\frac{c^3}{2abc}+\frac{2abc}{c^3+abc}\right)\)
Xét: \(\frac{a^3}{2abc}+\frac{2abc}{a^3+abc}=\frac{a^3}{2abc}+\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{a^3}{2abc}+\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}\ge2\sqrt{\left(\frac{a^3}{2abc}+\frac{1}{2}\right).\frac{1}{\frac{a^3}{2abc}+\frac{1}{2}}}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)
Tương tự với 2 cặp còn lại
Vậy ta có: \(P\ge\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)
"=" xảy ra <=> a=b=c
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
chứng minh bất đẳng thức sau
\(\dfrac{a}{bc}\)+\(\dfrac{b}{ca}\)+\(\dfrac{c}{ab}\)≥\(\dfrac{2}{a}\)+\(\dfrac{2}{b}\)+\(\dfrac{2}{c}\)( với a,b,c là các số dương)
