Giả sử CD cắt AM tại H 
Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AM tại P 
Ta có: 
tg CHM = tg BMP 
=> HM=MP 
Do BP// CD => AD/AB = AH/AP (*) 

Giả sử AC =a 
Mặt khác xét tg vuông ACM, đường cao CH ta có: 
1/CH^2 = 1/AC^2 + 1/CM^2 = 1/a^2 + 1/(a/2)^2 = 5/a^2 
=> CH^2 = a^2/5 
Do CH^2 = AH.HM 
=> AH.HM = a^2/5 (**) 
mà AC^2 = AH.AM =a^2 (***) 

Chia (**) và (***) => HM/AM = 1/5 
=> HM = AM/5 
=> HP/2 = (AP -MP)/5 = (AP -HP/2)/5 

=> HP = 1/3AP => AH = 2/3AP 
Từ (*) => AD/AB =2/3 => AD= 2AB/3 
=> DB= AB/3 
=> AD = 2BD

a: Xét ΔMEB vuông tại E và ΔMFC vuông tại F có 

MB=MC

\(\widehat{EBM}=\widehat{FCM}\)

Do đó: ΔMEB=ΔMFC

Suy ra:ME=MF và EB=FC

Ta có: AE+EB=AB

AF+FC=AC

mà AB=AC

và EB=FC

nên AE=AF

Ta có: AE=AF

nên A nằm trên đường trung trực của FE(1)

Ta có: ME=MF

nên M nằm trên đường trung trực của FE(2)

từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của FE

hay AM\(\perp\)FE

a: Xét ΔCKA vuông tại K và ΔCAM vuông tại A có

góc KCA chung

=>ΔCKA đồng dạng với ΔCAM

b: Xét ΔAKM vuông tại K và ΔABD vuông tại B có

góc KAM chung

=>ΔAKM đồng dạng với ΔABD

=>AK/AB=AM/AD

=>AK*AD=AB*AM

a: Xét ΔBDM vuông tại D và ΔCEM vuông tại E có

MB=MC

góc BMD=góc CME

=>ΔBDM=ΔCEM

=>BD=CE

b: Xét ΔKBC có

KM vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

=>ΔKBC cân tại K

c: KB=KC

mà KC<AC

nên KB<AC

a) Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{MBC}=\widehat{ABM}\)(tia BC nằm giữa hai tia BA,BM)

nên \(\widehat{ABC}+\widehat{MBC}=90^0\)(1)

Ta có: \(\widehat{ACB}+\widehat{MCB}=\widehat{ACM}\)(tia CB nằm giữa hai tia CA,CM)

nên \(\widehat{ACB}+\widehat{MCB}=90^0\)(2)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{MBC}=\widehat{MCB}\)

Xét ΔMBC có \(\widehat{MBC}=\widehat{MCB}\)(cmt)

nên ΔMBC cân tại M(Định lí đảo của tam giác cân)

b) Xét ΔABM vuông tại B và ΔACM vuông tại C có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

BM=CM(ΔMBC cân tại M)

Do đó: ΔABM=ΔACM(hai cạnh góc vuông)

⇒\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)(hai góc tương ứng)

mà tia AM nằm giữa hai tia AB,AC

nên AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)

Ta có: ΔABM=ΔACM(cmt)

nên \(\widehat{BMA}=\widehat{CMA}\)(hai góc tương ứng)

mà tia MA nằm giữa hai tia MB,MC

nên MA là tia phân giác của \(\widehat{BMC}\)(đpcm)

c) Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)

Ta có: MB=MC(ΔMBC cân tại M)

nên M nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(5)

Từ (4) và (5) suy ra AM là đường trung trực của BC

hay AM⊥BC(đpcm)

a: Xét ΔCKA vuông tại K và ΔCAM vuông tại A có

góc C chung

=>ΔCKA đồng dạng với ΔCAM

b: Xét ΔAMK vuông tại K và ΔADB vuông tại B có

góc MAk chung

=>ΔAMK đồng dạng với ΔADB

=>AM/AD=AK/AB

=>AM*AB=AD*AK