a, Ta có: OA + AB = OB

và OC + CD = OD

Mà OA = OC (gt) ; AB = CD (gt)

=> OB = OD 

=> △OBD cân tại O

b, Vì ON là tia phân giác của xOy => xON = NOy = xOy : 2 = 65^o : 2 = 32,5^o

Cách 1: Xét △OAM và △OCM 

Có: OA = OC (gt)

    AOM = COM (cmt)

   OM là cạnh chung

=> △OAM = △OCM (c.g.c)

=> AMO = CMO (2 góc tương ứng)

Mà AMO + CMO = 180^o (2 góc kề bù)

=> AMO = CMO = 180^o : 2 = 90^o

Xét △BON và △DON

Có: OB = OD (cmt)

    BON = DON (cmt)

   ON là cạnh chung

=> △BON = △DON (c.g.c)

=> BNO = DNO (2 góc tương ứng)

Mà BNO + DNO = 180^o (2 góc kề bù)

=> BNO = DNO = 180^o : 2 = 90^o     

Cách 2: Vì OA = OC (gt) => △AOC cân tại O => CAO = (180^o - AOC) : 2 =  (180^o​ - 65^o) : 2 = 115^o : 2 = 57,5^o 

Xét △OAM có: MAO + AMO + MOA = 180^o (tổng 3 góc trong tam giác)

=> 57,5^o + AMO + 32,5^o = 180^o 

=> AMO = 180^o - 32,5^o - 57,5^o 

=> AMO = 90^o 

Vì △OBD cân tại O => DBO = (180^o - BOD) : 2 =  (180^o​ - 65^o) : 2 = 115^o : 2 = 57,5^o 

Xét △BON có: NBO + BNO + BON = 180^o (tổng 3 góc trong tam giác)

=> 57,5^o + BNO + 32,5^o = 180^o 

=> BNO = 180^o - 32,5^o - 57,5^o 

=> BNO = 90^o 

c, Vì AMO = 90^o => AM ⊥ ON hay AC ⊥ ON (M  AC)   (1)

Vì BNO = 90^o => BN ⊥ ON hay BD ⊥ ON (N  BD)       (2)

=> Từ (1) và (2) => AC // BD (dhnb)

Mình nghĩ khó mà có người giải hết chỗ bài tập đấy của bạn, nhiều quá

3/ (Bạn tự vẽ hình giùm)

a/ \(\Delta ABC\)và \(\Delta ADC\)có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{ACD}\)(AB // DC; ở vị trí so le trong)

Cạnh AC chung

\(\widehat{CAD}=\widehat{ACB}\)(AB // DC; ở vị trí so le trong)

=> \(\Delta ABC\)= \(\Delta ADC\)(g. c. g)

=> AD = BC (hai cạnh tương ứng)

và AB = DC (hai cạnh tương ứng)

b/ Ta có AD = BC (cm câu a)

và \(AN=\frac{1}{2}AD\)(N là trung điểm AD)

và \(MC=\frac{1}{2}BC\)(M là trung điểm BC)

=> AN = MC

Chứng minh tương tự, ta cũng có: BM = ND

\(\Delta AMB\)và \(\Delta CND\)có:

BM = ND (cmt)

\(\widehat{ABM}=\widehat{NDC}\)(AB // CD; ở vị trí so le trong)

AB = CD (\(\Delta ABC\)= \(\Delta ADC\))

=> \(\Delta AMB\)= \(\Delta CND\)(c. g. c)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{NCD}\)(hai góc tương ứng)

và \(\widehat{BAC}=\widehat{ACN}\)(\(\Delta ABC\)= \(\Delta ADC\))

=> \(\widehat{BAC}-\widehat{BAM}=\widehat{ACN}-\widehat{NCD}\)

=> \(\widehat{MAC}=\widehat{ACN}\)(1)

Chứng minh tương tự, ta cũng có \(\widehat{AMC}=\widehat{ANC}\)(2)

và AN = MC (cmt) (3)

=> \(\Delta MAC=\Delta NAC\)(g, c. g)

=> AM = CN (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

c/ \(\Delta AOB\)và \(\Delta COD\)có:

\(\widehat{BAO}=\widehat{OCD}\)(AB // DC; ở vị trí so le trong)

AB = CD (cm câu a)

\(\widehat{ABO}=\widehat{ODC}\)(AD // BC; ở vị trí so le trong)

=> \(\Delta AOB\)= \(\Delta COD\)(g. c. g)

=> OA = OC (hai cạnh tương ứng)

và OB = OD (hai cạnh tương ứng)

d/ \(\Delta ONA\)và \(\Delta MOC\)có:

\(\widehat{AON}=\widehat{MOC}\)(đối đỉnh)

OA = OC (O là trung điểm AC)

\(\widehat{OAN}=\widehat{OCM}\)(AM // NC; ở vị trí so le trong)

=> \(\Delta ONA\)= \(\Delta MOC\)(g. c. g)

=> ON = OM (hai cạnh tương ứng)

=> O là trung điểm MN

=> M, O, N thẳng hàng (đpcm)

gggggggggggggggggggggggggggggg

a, xét tam giác OMA và tam giác OMB có ;

 OA =  OB ( gt ) 

OM chung 

AM = BM ( gt ) 

=> tam giác OMA = tam giác OMB ( c.c.c) 

Ta có hình vẽ:

a/ Xét tam giác OAD và tam giác OBC có:

OA = OB (GT)

\(\widehat{O}\): góc chung

OC = OD (GT)

Vậy tam giác OAD = tam giác OBC (c.g.c)

b/ Ta có: tam giác OAD = tam giác OBC (câu a)

=> \(\widehat{OAD}\)=\(\widehat{OBC}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{OAD}\)+\(\widehat{DAC}\) = 180⁰ (kề bù)

và \(\widehat{OBC}\)+\(\widehat{CBD}\) = 180⁰ (kề bù)

=> \(\widehat{CAD}\)=\(\widehat{CBD}\)(đpcm)

1: Xét ΔOMA và ΔOMB có 

OM chung

MA=MB

OA=OB

Do đó: ΔOMA=ΔOMB