3)PT x3+y3+z3=nx2y2z2x3+y3+z3=nx2y2z2 (*)
Không mất tỉnh tổng quát . Giả sử x≥y≥zx≥y≥z 
Xét x=1x=1 suy ra y=z=1y=z=1 và n=3n=3  
Bây giờ ta xét x≥2x≥2 
Như vậy thì theo phương trình (∗)(∗) thì 
x3+y3+z3≥(xyz)2x3+y3+z3≥(xyz)2 . Chia cả 22 vế cho x3x3 ta được : 
y3+z3x3≥(yz)2x−1y3+z3x3≥(yz)2x−1 (2)
Mà y3+z3x3≤2y3+z3x3≤2 
Suy ra x≥(yz)23x≥(yz)23 
Mà ta lại có x2|(y3+z3)x2|(y3+z3) nên 2y3≥y3+z3≥x22y3≥y3+z3≥x2 
Từ đó ta được y4z49≤x2≤2y3y4z49≤x2≤2y3
Suy ra yz4≤18⇔z≤4√18yz4≤18⇔z≤184 từ đó ta có z<2z<2 
Suy ra z=1z=1 
Thế vào (2) ta có : y2x−1≤y3+1x3≤1+1x3y2x−1≤y3+1x3≤1+1x3 
Suy ra y2≤2x+1x2≤2x+14y2≤2x+1x2≤2x+14  
Suy ra 2x≥y2−14>y22x≥y2−14>y2 suy ra x≥y22x≥y22 (3)
Mà y3+z3≥x2y3+z3≥x2 suy ra y3+1≥x2y3+1≥x2
Lại từ (3) ta có x2≥y44x2≥y44 
Từ đó suy ra y3+1≥x2≥y44y3+1≥x2≥y44 
(2x)32≥y3(2x)32≥y3
Ta có bất phương trình (2x)32+1≥x3(2x)32+1≥x3 
Suy ra x≤2x≤2 
Đến đây ta sử dụng bất phương trình x≥y22x≥y22 rồi tìm ra nn 

\(x^6+\left(y^6+15y^4+75y^2+125\right)+z^3-3x^2y^2z-15x^2z=0\)

\(\Leftrightarrow x^6+\left(y^2+5\right)^3+z^3=3x^2\left(y^2+5\right)z\)

Ta có:

\(x^6+\left(y^2+5\right)^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^6\left(y^2+5\right)^3z^3}=3x^2\left(y^2+5\right)z\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(x^2=y^2+5=z\)

Từ \(x^2=y^2+5\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=5\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(3;2\right)\Rightarrow z=9\)

Vậy có đúng 1 bộ số nguyên dương thỏa mãn pt:

\(\left(x;y;z\right)=\left(3;2;9\right)\)

Lời giải:

Từ \(x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2\Rightarrow n=\frac{x}{y^2z^2}+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}\)

Gọi \(x=\max (x,y,z)\)

Ta thấy \(x^2|x^3+y^3+z^3\rightarrow x^2|y^3+z^3\rightarrow y^3+z^3\geq x^2\)

TH1: \(x>y^2z^2\)

\(\Rightarrow y^3+z^3>y^4z^4\Leftrightarrow y^3(1-\frac{yz^4}{2})+z^3(1-\frac{y^4z}{2})>0 \)

Nếu \(yz\geq 2\) thì điều trên hoàn toàn vô lý. Suy ra \(yz\leq 1\rightarrow y=z=1\)

\(\Rightarrow x^3+2=nx^2\rightarrow x^2|2\rightarrow x=1\), ta thu được \(n=3\)

TH2: \(x< y^2z^2\)

Khi đó \(n=\frac{x}{y^2z^2}+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}\leq \frac{3x}{y^2z^2}<3\)

\(\Rightarrow n=1,2\)

Ta sẽ thử xem hai giá trị này có thỏa mãn không.

Với \(n=1\) \(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=x^2y^2z^2\)

Cho \(z=1\Rightarrow x=3,y=2\) (biến đổi PT tích) thỏa mãn nên $n=1$ cũng thỏa mãn.

Với \(n=2\) \(\Rightarrow 2=\frac{x}{y^2z^2}+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}<1+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}\)

\(\Rightarrow y^3+z^3\geq x^2y^2z^2\geq y^3z^3\) do $x$ max

\(\Rightarrow (y^3-1)(z^3-1)\leq 1\) nên \((y^3-1)(z^3-1)=0,1\)

Dễ thấy \((y^3-1)(z^3-1)=1\) không thỏa mãn nên \((y^3-1)(z^3-1)=0\). nên tồn tại một số bằng $1$, giả sử là $y=1$

Bên trên vừa chỉ ra được \(y^3+z^3\geq x^2y^2z^2\Rightarrow z^3+1\geq x^2z^2\geq z^4\)

\(\Rightarrow 1\geq z^3(z-1)\rightarrow z=1\)

Thay vào PT ban đầu ta không thu được nghiệm $x$ thỏa mãn

Vậy \(n\in\left\{1,3\right\}\)

P/s: Bài này là 1 bài trong China TST 1987, nó là toán olympiad nên để trong box toán 9 không hợp lý

Trên mạng tất nhiên đã có lời giải cho bài toán này, nói chung là ý tưởng cũng xêm xêm nhau.

Đây là bài làm của mình từ năm lớp 10, ý tưởng hoàn toàn độc lập, coi như mình cũng chỉ "viết lại" thôi.

Từ điều kiện dễ dàng suy ra \(x^3+y^3\ge z^2\)

Không mất tính tổng quát giả sử \(x\le y\le z\)

Ta có: \(z=nx^2y^2-\frac{x^3+y^3}{z^2}\ge nx^2y^2-(x+y)\)

Do \(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\leq (x+y)y^2\)

\(\Rightarrow n^2x^4y^4<2nx^2y^2(x+y)+x^3+y^3\)

Và \(nxy<2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+\frac{1}{nx^3}+\frac{1}{ny^3} (*)\)

Từ \((*) \Rightarrow x=1\) vì nếu \(x\geq 2\) thì \(y\ge x\ge 2\) vế trái của \((*)\) lớn hơn \(4\) còn vế phải \(\le 3\) (Vô lí)

Vậy \(x=1\) ta có \(ny<2+\frac{2}{y}+\frac{1}{n}+\frac{1}{ny^3} \Rightarrow y\leq3\)

\(x^3+y^3=1+y^3\geq z^2\)

Ta xét \(\left\{{}\begin{matrix}y=1\Rightarrow z=1;n=3\\y=2\Rightarrow z=3;n=1\\y=3\Rightarrow\varnothing\end{matrix}\right.\)

Vậy pt có nghiệm \((x,y,z,n)=(1,1,1,3);(1,2,3,1)\)

..+ _ + ..