Ta có: \(n^4-14n^3+71n^2-154n+120\)

        = \(n^4-7n^3-7n^3+12n^2+49n^2+10n^2-84n-70n+120\)

        = \(\left(n^4-7n^3+12n^2\right)-\left(7n^3-49n^2+84n\right)+\left(10n^2-70n+120\right)\)

        = \(n^2\left(n^2-7n+12\right)-7n\left(n^2-7n+12\right)+10\left(n^2-7n+120\right)\)

        =\(\left(n^2-7n+10\right)\left(n^2-7n+12\right)\)

        =\(\left(n-6\right)\left(n-5\right)\left(n-4\right)\left(n-3\right)\)

Trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3 nên \(\left(n-6\right)\left(n-5\right)\left(n-4\right)\left(n-3\right)\)chia hết cho 3.

Trong 4 số tự nhiên liên tiếp luôn có 2 số chẵn nên  \(\left(n-6\right)\left(n-5\right)\left(n-4\right)\left(n-3\right)\)chia hết cho 8.

Do \(\left(3,8\right)=1\)nên \(\left(n-6\right)\left(n-5\right)\left(n-4\right)\left(n-3\right)\)chia hết cho 24.

Mk mới học lớp 6 nè

Ta có:

P = \(n^4-14n^3+71n^2-154n+120\)

\(=n^4-3n^3-11n^3+33n^2+38n^2-114n-40n+120\)

\(=n^3\left(n-3\right)-11n^2\left(n-3\right)+38n\left(n-3\right)-40\left(n-3\right)\)

\(=\left(n-3\right)\left(n^3-11n^2+38n-40\right)\)

\(=\left(n-3\right)\left(n^3-4n^2-7n^2+28n+10n-40\right)\)

\(=\left(n-3\right)\left(n-4\right)\left(n^2-7n+10\right)\)

\(=\left(n-3\right)\left(n-4\right)\left(n^2-2n-5n+10\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-4\right)\left(n-5\right)\)

Ta có P bằng tích 4 số tự nhiên liên tiếp. Mà tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24.

\(=>P⋮24\left(đpcm\right).\)

Cách khác:

B= (n^4 - 14n^3 + 49n^2) + 22n^2 -154n +120
= n^2(n^2 -14n +49) + 22n(n-7) +120
= (n(n-7))^2 +10n(n-7) + 12n(n-7) + 10*12
= n(n-7)[n(n-7) + 10] + 12[n(n-7) +10]
= [n(n-7) +10] * [n(n-7) + 12]
= (n^2 - 7n + 10)(n^2 - 7n +12)
= (n-2)(n-5)(n-3)(n-4)
= (n-5)(n-4)(n-3)(n-2)
B là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp

=> B chia hết cho 2, 3, 4 mà 2, 3, 4 nguyên tố cùng nhau

=> B chia hết cho 2x3x4

Hay B chia hết cho 24.

=>(đpcm).

Đặt A= biểu thức. Ta có:

A=n⁴-14n³+71n²-154n+120=n⁴-3n³-11n³+33n²+38n²-114n-40n+120=n³(n-3)-11n²(n-3)+38n(n-3)-40(n-3)=(n-3)(n³-11n²+38n-40)

A=(n-3)(n³-4n²-7n²+28n+10n-40)=(n-3)[n²(n-4)-7n(n-4)+10(n-4)]=(n-3)(n-4)(n²-7n+10)

A=(n-3)(n-4)(n²-5n-2n+10)=(n-3)(n-4)[n(n-5)-2(n-5)]

=> A=(n-3)(n-4)(n-5)(n-2)

=> A=(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)

Ta nhận thấy: (n-2); (n-3); (n-4) và (n-5) là 4 số tự nhiên liên tiếp => Có ít nhất 1 số chia hết cho 3 (Vì 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3)

Và vì là 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 2 số chẵn trong đó có 1 số chẵn chia hết cho 4 => Chia hết cho 8

=> A=(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) chia hết cho 3.8=24

=> A chia hết cho 24 (đpcm)

ko biet lam

tui moi lop 6 thoi

\(n^4-14n^3+71n^2-154n+120\)

\(=n^2\left(n^2-9n+20\right)-5n\left(n^2-9n+20\right)+6\left(n^2-9n+20\right)\)

\(=\left(n^2-5n+6\right)\left(n^2-9n+20\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-4\right)\left(n-5\right)\)

Dễ nhận thấy tích trên là tích của 4 số nguyên liên tiếp (vì n thuộc N)

Trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-4\right)\left(n-5\right)⋮3\)(1)
Trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4. (n-2)(n-3)(n-4)(n-5) là tích của 1 số chia 2,1 số chia hết cho 4 và 2 số khác thì chia hết cho 8 (2)

Từ (1);(2) kết hợp (3;8)=1 suy ra đpcm

dung oi . bn nay thong minh ghe

B= (n^4 - 14n^3 + 49n^2) + 22n^2 -154n +120
= n^2(n^2 -14n +49) + 22n(n-7) +120
= (n(n-7))^2 +10n(n-7) + 12n(n-7) + 10*12
= n(n-7)[n(n-7) + 10] + 12[n(n-7) +10]
= [n(n-7) +10] * [n(n-7) + 12]
= (n^2 - 7n + 10)(n^2 - 7n +12)
= (n-2)(n-5)(n-3)(n-4)
= (n-5)(n-4)(n-3)(n-2)
B là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp

=> B chia hết cho 2, 3, 4 mà 2, 3, 4 nguyên tố cùng nhau

Suy ra: B chia hết 2x3x4

Hay B chia hết cho 24.

Bn chịu khó đọc nha!

Ta có:

P = n4−14n3+71n2−154n+120

=n4−3n3−11n3+33n2+38n2−114n−40n+120

=n3(n−3)−11n2(n−3)+38n(n−3)−40(n−3)

=(n−3)(n3−11n2+38n−40)

=(n−3)(n3−4n2−7n2+28n+10n−40)

=(n−3)(n−4)(n2−7n+10)

=(n−3)(n−4)(n2−2n−5n+10)

=(n−2)(n−3)(n−4)(n−5)

Ta có P bằng tích 4 số tự nhiên liên tiếp. Mà trong 4 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 2;1 số chia hết cho 3 ; 1 số chia hết cho 4

=>P⋮(\(2\cdot3\cdot4\))=>P⋮24(ĐPCM)