Xét bộ gồm 2016 số: \(2^1;2^2;...;2^{2016}\)

Do 2017 nguyên tố đồng thời \(2^k\) là lũy thừa của 1 số nguyên tố khác 2017 nên \(2^k\) ko chia hết 2017 với mọi k 

Do đó tất cả các số trong bộ số nói trên đều ko chia hết 2017

- Nếu các số trong dãy trên chia 2017 có số dư đôi một khác nhau \(\Rightarrow\) có 2016 số dư \(\Rightarrow\) có đúng 1 số chia 2017 dư 1, giả sử đó là \(2^n\) thì \(2^n-1⋮2017\)

- Nếu tồn tại 2 số trong 2016 số trên có cùng số dư khi chia 2017 là \(2^i\) và \(2^j\) với \(1\le i< j\le2016\Rightarrow1\le j-i< 2016\)

\(\Rightarrow2^j-2^i⋮2017\)

\(\Rightarrow2^i\left(2^{j-i}-1\right)⋮2017\)

\(\Rightarrow2^{j-i}-1⋮2017\) (do \(2^i\) ko chia hết 2017)

\(\Rightarrow n=j-i\) thỏa mãn yêu cầu

giải được công nhận siêu và ngu

đề rắc rối quá

cái nầy thì cậu tự làm đi

thế ơi mấy đè rùi

Gỉa sử tồn tại số tự nhiên n để 2010ⁿ - 1 chia hết cho 1010ⁿ - 1

Vì 2010 chia hết cho 3 nên 2010ⁿ chia hết cho 3 => 2010ⁿ - 1 không chia hết cho 3  => 1010ⁿ - 1 không chia hết cho 3

Mà  1010 đồng dư với -1 ( mod 3) => 1010ⁿ  - 1 đồng dư với (-1)ⁿ - 1 (mod 3)  => (-1)ⁿ - 1 khác 0 => n lẻ 

+) Vì 1010ⁿ - 1 chia hết cho 1010 - 1 = 1009 nên 2010ⁿ - 1 chia hết cho 1009 Hay 2010ⁿ đồng dư với 1 ( mod 1009)

Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất mà 2010^k đồng dư với 1 ( mod 1009) => n chia hết cho k Mà n lẻ nên k lẻ

+) Ta lại có: 1009 là số nguyên tố và  nguyên tố cùng nhau với 2010. Theo ĐL Fermat nhỏ có: 2010¹⁰⁰⁸ đồng dư với 1 (mod 1009)

Vì k là số nguyên dương nhỏ nhất để 2010^k đồng dư với 1 ( mod 1009) nên k là ước của 1008

1008 = 2⁴.3². 7 Mà k lẻ nên k có thể bằng 3;7;9;21;27; 63

Thử các giá trị của k

Vì 2010 đồng dư với -8 (mod 1009) nên 2010³ đồng dư với -512 (mod 1009) => Loại k = 3

tương tự với k = 7; 9 => Loại

2010⁹ đồng dư với 8⁹ (mod 1009) ; 8⁹ đồng dư với 548 (mod 1009)

=> 2010²⁷ đồng dư với 548³ ( mod 1009); 548³ đồng dư với 710 ( mod 1009)

=> k = 27 Loại

Làm tương tự với k = 63 => Loại

Vậy không có giá trị nào của k thỏa mãn y/c => điều giả sử sai

=> Không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn y/ c

a, Nếu n = 2k ( k thuộc N ) thì : 7^n+2 = 49^n+2 = [B(3)+1]^n+2 = B(3)+1+2 = B(3)+3 chia hết cho 3

Nếu n=2k+1 ( k thuộc N ) thì : 7^n+2 = 7.49^n+2 = (7.49^n+14)-12 = 7.(49^n+2)-12 chia hết cho 3 ( vì 49^n+2 và 12 đều chia hết cho 3 )

=> (7^n+1).(7^n+2) chia hết cho 3 với mọi n thuộc N

Tk mk nha

b, Trong 3 số tự nhiên x,y,z luôn tìm được hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Ta có tổng của hai số này là chẵn, do đó (x + y)(y + z)(z + x) chia hết cho 2

=> (x + y)(y + z)(z + x) + 2016 chia hết cho 2 (vì 2016 chia hết cho 2)

Mà 2017²⁰¹⁸ không chia hết cho 2

Vậy không tồn tại các số tồn tại các số tự nhiên x,y,z thỏa mãn đề bài