Hình vẽ:

Lời giải:
a. $BAC$ là tam giác vuông cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{BCA}=45^0$

$ACE$ là tam giác vuông cân tại $E$

$\Rightarrow \widehat{EAC}=45^0$

Do đó: $\widehat{BCA}=\widehat{EAC}$. Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên $AE\parallel BC$. Mà $\widehat{E}=90^0$ nên $AECB$ là hình thang vuông.

-----------------

Tính góc:

Hình thang vuông $AECB$ có $\widehat{E}=90^0$ đương nhiên $\widehat{C}=180^0-\widehat{E}=90^0$

$\widehat{ABC}=45^0$ (do $ABC$ vuông cân tại $A$)

$\widehat{BAE}=\widehhat{BAC}+\widehat{EAC}=90^0+45^0=135^0$

Tính cạnh:

Vì $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB=AC$

Áp dụng định lý Pitago:

$AB^2+AC^2=BC^2=4$

$AB^2+AB^2=4$

$2AB^2=4\Rightarrow AB=\sqrt{2}$ (cm) 

$\Rightarrow AC=\sqrt{2}$ (cm)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $ACE$ vuông cân tại $E$:

$AE^2+EC^2=AC^2=2$

$2AE^2=2\Rightarrow AE=1$ (cm)

$EC=AE=1$ (cm)

Vậy.........

     bai lam:              vi tam giac abc vuong tai a suy ra bac=45 (1)

vi tam giac ace vuong tai e suy ra ace=45 (2)

bce=bac+ace (3)

tu 1 2 3 suy ra bce=aec (ma 2 goc o vi tri trong cung phia phu nhau) suy ra ae//bc nen tu giac aecb la hinh thang co aec =90 nen aecb la hinh thang vuong

tinh gum minh cac ban nha?

Bài mình làm cực chi tiết nên có một số chỗ viết tắt: gt:giả thiết,  dhnb:dấu hiệu nhận biết,   đ/n:định nghĩa,   cmt:chứng minh trên,   t/c: tính chất

a) Vì tam giác ABC vuông cân ở A (gt)=> góc ACB=45 độ.

         tam giác ACE vuông cân ở E (gt)=> góc EAC=45 độ.

mà góc EAC và góc ACB ở vị trí so le trong.

Từ 3 điều trên=> AE//BC (dhnb) => AECB là hình thang (đ/n) mà góc AEC=90 độ (tam giác ACE vuông cân) => AECB là hình thang vuông.

b) Vì AECB là hình thàng vuông(cmt) mà góc AEC= 90 độ (tam giác ACE vuông cân). => góc ACE=90 độ.

Có: góc ABC= 45 độ (cmt).

tam giác AEC vuông cân ở E (gt)=> góc EAC=45 độ (t/c) mà góc BAC+ góc EAC= góc BAE và góc BAC= 90 độ (tam giác BAC vuông cân)=> góc BAE= 90 độ=45 độ= 135 độ.

Gọi AD là đường trung trực tam giác ABC=> AD=BD=BC=1/2BC=1/2*2=1 cm (chỗ này là tính chất tam giác vuông: trung tuyến ứng với                                                                                 cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền nhé). [đây là điều thứ nhất suy ra được]

                                                                         => AD vông góc với BC. [đây là điều thứu hai suy ra được]

Xét tam giác ADC vuông tại D (AD vuông góc BC) và tam giác AEC vuông tại E (gt) có: Cạnh huyền AC chung. Góc EAC= góc BCA (cmt) => tam giác ADC= tam giác CEA (ch-gn) => AD= EC ( 2 cạnh tương ứng) mà AD=1cm(cmt) => AE=1cm.

Xét  tam giác ADB vuông (AD vuông góc BC) có: AD²+ BD² = AB² ( định lí Pytago)

                                                                                       1²   +  1²    =AB^{2 =>} 1+1=AB² => Ab bằng căn bậc hai cm.

Bài 2:

kẻ hình thang ABCD

kẻ 2 đường cao AH và BK nối B với H

xét tam giác ABH và tam giác KBH

có ^ABH = ^KBH ( 2gocs so le trong )

HB chung

=> tam giác ABH = tam giác KBH (cạnh huyền +góc nhọn )

=> AB =HK ( 2 cạnh tương ứng )

xét tam giác BKC có BC>KC ( trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất )(1)

xét tam giác AHD có AD>HD (trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất)(2)

từ (1) và (2) => BC+AD >KC+HD

ta lại có DH+DK +HK =DC

mà AB=HK (C/m )

=> DH+DK+AB =dc

ta có DC-AB = DH+DK+AB-AB= DH+DK

mà DH+DK<BC+AD(c/m)

=>DC -AB< BC+AD

vậy tổng hai cạnh bên của hình thang lớn hơn hiệu hai đáy

Tam giác ABC vuông cân tại A

⇒ ∠ (ACB) = 45 0

Tam giác EAC vuông cân tại E

⇒  ∠ (EAC) =  45 0

Suy ra:  ∠ (ACB) =  ∠ (EAC)

⇒ AE // BC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

nên tứ giác AECB là hình thang có  ∠ E =  90 0 . Vậy AECB là hình thang vuông