Đáp án: B

Bước 2 sai vì  27k³ + 27k²  + 9k + 1 không chia hết cho 3

Cách 1: Quy nạp

Đặt An = n3 + 3n2 + 5n

+ Ta có: với n = 1

A1 = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3

+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

Ak = (k3 + 3k2 + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh Ak + 1 chia hết 3

Thật vậy, ta có:

Ak + 1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)

         = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

         = (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9

Theo giả thiết quy nạp: k3 + 3k2 + 5k ⋮ 3

Mà 3k2 + 9k + 9 = 3.(k2 + 3k + 3) ⋮ 3

⇒ Ak + 1 ⋮ 3.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Có: n3 + 3n2 + 5n

      = n.(n2 + 3n + 5)

      = n.(n2 + 3n + 2 + 3)

      = n.(n2 + 3n + 2) + 3n

      = n.(n + 1)(n + 2) + 3n.

Mà: n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)

3n ⋮ 3

⇒ n3 + 3n2 + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3.

Vậy n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*

Có: \(n^3+3n^2+2n=n^3+n^2+2n^2+2n\)

\(=n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=\left(2n+n^2\right)\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+2\right)\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Có \(n;n+1;n+2\)là 3 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow\)trong đó có một số chia hết cho 3; có ít nhất một số chia hết cho 2

\(\Rightarrow\)\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)chia hết cho \(2\times3\)

\(\Rightarrow\)\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)chia hết cho 6

\(\Rightarrow\)\(n^3+3n^2+2n\)chia hết cho 6

Bạn Phạm Trần Minh Ngọc làm thiếu rồi, mình phải có thêm dữ kiện 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau nữa mới đủ ~~

Có: 

n^ 3 + 3n^ 2 + 2n

= n ^3 + n^ 2 + 2n ^2 + 2n

= n ^2( n + 1 )+ 2n (n + 1)

= (2n + n ^2 )(n + 1 )

= n( n + 2)( n + 1)

= n( n + 1)(n + 2)Có n;n + 1;n + 2là 3 số nguyên liên tiếp

⇒ trong đó có một số chia hết cho 3; có ít nhất một số chia hết cho 2

⇒n (n + 1)( n + 2) chia hết cho 2 × 3

⇒n (n + 1)( n + 2) chia hết cho 6

⇒n^ 3 + 3n^ 2 + 2n chia hết cho 6

a. 

Đề bài sai, ví dụ \(n=1\) lẻ nhưng  \(1^2+4.1+8=13\) ko chia hết cho 8

b.

n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(n^3+3n^2-n-3=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

\(=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Do \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6

\(\Rightarrow8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) chia hết cho 48

Ta có:

n(n + 1)(n + 2)

= (n² + n)(n + 2)

= n³ + 2n² + n² + 2n

= n³ + 3n² + 2n

Mà n(n + 1)(n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp (do n là số nguyên)

⇒ n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3

⇒ (n³ + 3n² + 2) ⋮ 3

Ta có:

n³ + 11n

= n³ + 3n² + 2n - 3n² + 9n

= (n³ + 3n² + 2n) - 3n(n - 3)

Ta có:

3 ⋮ 3

⇒ 3n(n - 3) ⋮ 3 (với mọi n nguyên)

Mà (n³ + 3n² + 2n) ⋮ 3 (cmt)

⇒ [(n³ + 3n² + 2n) - 3n(n - 3)] ⋮ 3

Vậy (n³ + 11n) ⋮ 3 với mọi số nguyên n

Ta có:

n(n + 1)(n + 2)

= (n² + n)(n + 2)

= n³ + 2n² + n² + 2n

= n³ + 3n² + 2n

Mà n(n + 1)(n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp (do n là số nguyên)

⇒ n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3

⇒ (n³ + 3n² + 2) ⋮ 3

Ta có:

n³ + 11n

= n³ + 3n² + 2n - 3n² + 9n

= (n³ + 3n² + 2n) - 3n(n - 3)

Ta có:

3 ⋮ 3

⇒ 3n(n - 3) ⋮ 3 (với mọi n nguyên)

Mà (n³ + 3n² + 2n) ⋮ 3 (cmt)

⇒ [(n³ + 3n² + 2n) - 3n(n - 3)] ⋮ 3

Vậy (n³ + 11n) ⋮ 3 với mọi số nguyên n

Cách 1: Chứng minh quy nạp.

Đặt Un = n3 + 11n

+ Với n = 1 ⇒ U1 = 12 chia hết 6

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 ta có:

Uk = (k3 + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: Uk + 1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) chia hết 6

Thật vậy ta có:

Uk+1 = (k + 1)3 + 11(k +1)

         = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11

         = (k3 + 11k) + 3k2 + 3k + 12

         = U_k + 3(k² + k + 4)

Mà: Uk ⋮ 6 (giả thiết quy nạp)

3.(k2 + k + 4) ⋮ 6. (Vì k2 + k + 4 = k(k + 1) + 4 ⋮2)

⇒ Uk + 1 ⋮ 6.

Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Có: n3 + 11n

= n3 – n + 12n

= n(n2 – 1) + 12n

= n(n – 1)(n + 1) + 12n.

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3

⇒ n(n – 1)(n + 1) ⋮ 6.

Lại có: 12n ⋮ 6

⇒ n3 + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n ⋮ 6.

n^3+11n chia hết cho 6

n^3+11n=n^3-n+12n

=(n-1)n(n+1)+12n

vậy n^3+11n luôn chia hết cho 6, với mọi n

A=n³+n²+2n²+2n

=n²(n+1)+2n(n+1)

=(n+1)(n²+2n)

=n(n+1)(n+2)

Vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

=>n(n+1)(n+2) luôn chia hết cho 3 với mọi 

=>A luôn chia hết cho 3 với mọi số nguyên n.