Vậy ΔHCK∼ΔABC(g−g) 

Từ đó suy ra \(\frac{HK}{AC}=\frac{HC}{AB}=sinABD\Rightarrow HK=AC.sinABD\)

Một tứ giác lồi là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi bốn đường trung trực của bốn cạnh đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này chính là tâm đường tròn nội tiếp.^[1]

Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi hai góc đối bù nhau, tức là^[1]

{\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =180^{\circ }.} Ở đây {\displaystyle \alpha =\angle DAB,\beta =\angle ABC,\gamma =\angle BCD,\delta =\angle CDA}

Định lý trên được nêu trong bộ Cơ bản của Euclid.^[2] Từ đó ta có khẳng định sau: Một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi một góc trong bằng góc kề bù của góc đối đỉnh góc đó.

Một trong các dấu hiệu nhận biết quan trọng khác để tứ giác ABCD nội tiếp là tứ giác có hai góc bằng nhau cùng nhìn một cạnh của tứ giác đó^[3] Ví dụ như: {\displaystyle \angle ACB=\angle ADB.}

Định lý Ptoleme cũng chỉ ra rằng một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi tích hai đường chéo bằng tổng của tích hai cặp cạnh đối, tức là:^[4]:p.25

{\displaystyle \displaystyle ef=ac+bd.}

Nếu hai đường thẳng lần lượt chứa hai đoạn thẳng AC và BD, cắt nhau tại P, thì A, B, C, D đồng viên khi và chỉ khi:^[5]

{\displaystyle \displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD.}

Giao điểm P có thể nằm trong hoặc nằm ngoài đường tròn. Trong trường hợp nằm trong, tứ giác lồi nội tiếp là ABCD, còn trong trường hợp còn lại, tứ giác nội tiếp là ABDC.

Một dấu hiệu nhận biết khác là tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi:^[6]

{\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}=1.}

â)Cm tam giác CBK đồng dạng với tam giác CDH(g.g) (tự cm nha )

>>>CK/CH=CB/CD(đpcm)

b)CK/CH=CB/CD>>>CK/CB=CH/CD=CH/AB.Mà HCK=90 độ +KCB=ABC

>>>Tam giác CKH đồng dạng tam giác BCA(đpcm)

c)>>>HK/AC=CK/BC=sinKBC=sinBAD>>>HK=AC.sinBAD(đpcm)

câu b mình ko hiểu cho lắm bạn có giải thích rõ hơn đc ko

câu b khó hiểu quá

GIẢI: 
a) Chứng minh tam giác CKH đồng dạng tam giác BCA 
AKC^ + ABC^ = 2v => AKCH nội tiếp 
=> CHK^ = CAB^ (1) ( cùng chắn cung CK) 
CKH^ = CAH^ (2) ( cùng chắn cung CH) 
CAH^ = ABC^ (3) ( so le trong) 
(2) và (3) => CKH^ = ACB^ (4) 
(1) và (4) => ΔCKH ~ ΔBCA (g.g) 

b) Chứng minh HK=AC.sinBAD 
ΔCKH ~ ΔBCA =>HK/AC = CH/AB = CH/CD = sin(CDH^) = sin(BAD^) ( đồng vị) 
=> HK = AC.sin(BAD^) 

c) Tính diện tích tứ giác AKCH nếu góc BAD = 60 độ, AB=4cm, AD=5cm 
AB = CD = 4 
CDH^ = BAD^ = 60* 
=> CH = 4√3/2 = 2√3 ( đường cao tam giác đều cạnh = 4) 
DH = CD/2 = 4/2 = 2 
=> AH = AD + DH = 5 + 2 = 7 
AD = BC = 5 
CBK^ = BAD^ = 60* 
=> CK = 5.√3/2 
BK = BC/2 = 5/2 
=> AK = AB + BK = 4 + 5/2 = 13/2 
S(AKCH) = S(ACK) + S(ACH) = AK.CK/2 + AH.CH/2 
= (13/2).( 5.√3/2)/2 + 7.(2√3)/2 = 732√3/8 

chúc bạn học tốt

giúp mình với