a: Xét ΔFME và ΔFPQ có

FM=FP

\(\widehat{MFE}=\widehat{PFQ}\)

FE=FQ

Do đó: ΔFME=ΔFPQ

=>ME=PQ

mà ME=NE(E là trung điểm của MN)

nên PQ=EN

b: ΔMFE=ΔPFQ

=>\(\widehat{FME}=\widehat{FPQ}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên ME//PQ

mà \(E\in MN\)

nên NE//PQ

Xét ΔNEP và ΔQPE có

NE=QP

\(\widehat{NEP}=\widehat{QPE}\)(hai góc so le trong, NE//PQ)

EP chung

Do đó: ΔNEP=ΔQPE

c: ΔNEP=ΔQPE

=>QE=NP

mà \(EF=\dfrac{1}{2}QE\)

nên EF=1/2NP

ΔNEP=ΔQPE

=>\(\widehat{NPE}=\widehat{QEP}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên QE//NP

=>EF//NP

a)

Ta có hình vẽ:

a/ Xét tam giác MEF và tam giác PQF có:

MF = EP (GT)

\(\widehat{MFE}\)=\(\widehat{PFQ}\) (đối đỉnh)

EF = FQ (GT)

=> tam giác MEF= tam giác PQF (c.g.c)

=> ME = QP (2 cạnh tương ứng)

Ta có: \(\begin{cases}ME=QP\\ME=NE\end{cases}\)\(\Rightarrow\)NE = PQ (đpcm)

b/ Ta có: \(\widehat{EMF}\)=\(\widehat{FPQ}\) (tam giác MEF = tam giác FQP)

Mà 2 góc này đang ở vị trí so le trong

=> ME // QP

Ta có: ME trùng NE, mà ME // PQ

=> NE // PQ => \(\widehat{NEP}\)=\(\widehat{EPQ}\) (so le trong) (1)

Ta có: NE = PQ (câu a) (2)

EP: cạnh chung (3)

Từ (1),(2),(3) => tam giác NEP = tam giác QPE (c.g.c)

c/ Ta có: tam giác NEP = tam giác QPE (câu b)

=> EQ = NP

Mà EF = FQ ( theo giả thiết)

=> EF = FQ = \(\frac{1}{2}\)EQ=\(\frac{1}{2}\)NP

Vậy EF = \(\frac{1}{2}\) NP (đpcm)

Do tam giác NEP = tam giác QPE (câu b)

=> \(\widehat{QEP}\)=\(\widehat{EPN}\) (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này đang ở vị trí so le trong

=> EQ // NP hay EF // NP (vì E,F,Q cùng nằm trên 1 đường thẳng) (đpcm)

a) Xét ΔMFE và ΔPFQ có 

MF=PF(F là trung điểm của MP)

\(\widehat{MFE}=\widehat{PFQ}\)(hai góc đối đỉnh)

FE=FQ(F là trung điểm của EQ)

Do đó: ΔMFE=ΔPFQ(c-g-c)

hay ME=PQ(hai cạnh tương ứng)

mà ME=NE(E là trung điểm của MN)

nên NE=PQ(đpcm)

b) Ta có: ΔMFE=ΔPFQ(cmt)

nên \(\widehat{EMF}=\widehat{QPF}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{EMF}\) và \(\widehat{QPF}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên ME//PQ(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

hay NE//PQ

⇒\(\widehat{NEP}=\widehat{QPE}\)(hai góc so le trong)

Xét ΔNEP và ΔQPE có 

NE=PQ(cmt)

\(\widehat{NEP}=\widehat{QPE}\)(cmt)

EP chung

Do đó: ΔNEP=ΔQPE(c-g-c)

c) Ta có: ΔNEP=ΔQPE(cmt)

nên \(\widehat{NPE}=\widehat{QEP}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{NPE}\) và \(\widehat{QEP}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên EQ//NP(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

hay EF//NP(đpcm)

Ta có: ΔNEP=ΔQPE(cmt)

nên NP=QE(hai cạnh tương ứng)

mà \(EF=\dfrac{1}{2}QE\)(F là trung điểm của QE)

nên \(EF=\dfrac{1}{2}\cdot NP\)(đpcm)

a, Do F là trung điểm NP

E là trung điểm MP

=> EF là đường trung bình

=>  \(EF=\dfrac{1}{2}MN=\dfrac{1}{2}.56=28\left(cm\right)\)

Diện tích tam giác MNP

\(S_{MNP}=\dfrac{1}{2}MN.MP=\dfrac{1}{2}.56.12=336\left(cm^2\right)\)

b,  

Xét tứ giác  NDEM có

ND // ME (gt)

DE // MN ( cmt)

=> NDEM là hình bình hành

mà có góc \(\widehat{NME}=90^o\)

=> NDEM là hình chữ nhật 

c,  NDEM là hình chữ nhật 

=> ME = ND 

mà ME = EP (do E là trung điểm MP)

=> ND = EP

Xet tứ giác NDPE có

ND = EP (cmt)

ND // EP (gt)

=> NDPE là hình bình hành