Bài 1:

Theo BĐT AM-GM có :$(x+y+1)(x^2+y^2)+\dfrac{4}{x+y}\geq (x+y+1).2xy+\dfrac{4}{x+y}=2(x+y+1)+\dfrac{4}{x+y}=(x+y)+(x+y)+\dfrac{4}{x+y}+2\geq 2\sqrt{xy}+2\sqrt{(x+y).\dfrac{4}{x+y}}+2=2+4+2=8$(đpcm)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(x=y, xy=1\) và \(x+y=2\) hay \(x=y=1\)

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

\(x^2+y^2\geq 2xy=2\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}(1)\)

Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:

\(2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}=(x+y+2)+[(x+y)+\frac{4}{x+y}]\)

\(\geq (2\sqrt{xy}+2)+2\sqrt{(x+y).\frac{4}{x+y}}=(2+2)+4=8(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 8\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$

Bài 2:

Vì $xyz=1$ nên:

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{3}{x+y+z}=\frac{z+x+y}{xyz}+\frac{3}{x+y+z}=x+y+z+\frac{3}{x+y+z}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(\frac{x+y+z}{3}+\frac{3}{x+y+z}\geq 2(1)\)

\(\frac{2}{3}(x+y+z)\geq \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{xyz}=\frac{2}{3}.3=2(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{3}{x+y+z}\geq 2+2=4\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Đặt A=\(\frac{1}{2}\) - \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{8}\) - \(\frac{1}{16}\) + \(\frac{1}{32}\) - \(\frac{1}{64}\) 

=>  2A= 1-\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{4}\) - \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{1}{16}\) - \(\frac{1}{32}\)

=> 3A= 1 - \(\frac{1}{64}\) <1 => A<1:3 => A<\(\frac{1}{3}\) => đpcm.

\(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}\)

\(=\frac{2}{4}-\frac{1}{4}+\frac{2}{16}-\frac{1}{16}+\frac{2}{64}-\frac{1}{64}\)

\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}\)

=37/64

Bạn ghi sai đề rồi nhé Biểu thức trên phải lớn hơn 1/3 chứ

Đặt biểu thức trên là S

Ta có: S= 1/2 - 1/4 + 1/8 -1/16 + 1/32 -1/64

            S=1/2¹ - 1/2² + 1/2³ - 1/2⁴ + 1/2⁵ - 1/2⁶

           2S=1 - 1/2 + 1/2² - 1 /2³ + 1/2⁴ - 1/2⁵

      2S+S = 1-1/2⁶

          S = 21/64

Vì 21/64< 1/3 

nên S<1/3 (dpcm)

Đặt \(A=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}\)

\(A=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{2^6}\)

\(2A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^5}\)

\(2A+A=\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^5}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{2^6}\right)\)

\(3A=1-\frac{1}{2^6}\)

\(3A=\frac{2^6-1}{2^6}\)

\(A=\frac{\frac{2^6-1}{2^6}}{3}< \frac{1}{3}\) 

Vậy \(A< 3\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Bạn Phùng Minh Quân ơi<3 cơ mà

đặt A bằng dãy trên

quy đồng mẫu số vs mẫu chung là 64. Ta có A=21/64<21/63=1/3

- Đặt \(A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{64}\)

- Ta có: \(A=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+...+\left(\frac{1}{33}+\frac{1}{34}+...+\frac{1}{64}\right)\)

       \(\Rightarrow A>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+...+\left(\frac{1}{64}+\frac{1}{64}+...+\frac{1}{64}\right)\)

      \(\Leftrightarrow A>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)

      \(\Leftrightarrow A>4\)\(\left(ĐPCM\right)\)