1.

$x(x+2)(x+4)(x+6)+8$

$=x(x+6)(x+2)(x+4)+8=(x^2+6x)(x^2+6x+8)+8$

$=a(a+8)+8$ (đặt $x^2+6x=a$)

$=a^2+8a+8=(a+4)^2-8=(x^2+6x+4)^2-8\geq -8$

Vậy $A_{\min}=-8$ khi $x^2+6x+4=0\Leftrightarrow x=-3\pm \sqrt{5}$

2.

$B=5+(1-x)(x+2)(x+3)(x+6)=5-(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$

$=5-(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$

$=5-[(x^2+5x)^2-6^2]$

$=41-(x^2+5x)^2\leq 41$

Vậy $B_{\max}=41$. Giá trị này đạt tại $x^2+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$

3.

Đặt $x+3=a; 7-x=b$ thì $a+b=10$ 

$C=a^4+b^4$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^4+b^4)(1+1)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow C\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2=100$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 50$

$\Rightarrow C\geq \frac{50^2}{2}=1250$

Vậy $C_{\min}=1250$

Giá trị này đạt tại $a=b=5\Leftrightarrow x=2$

A=\(\dfrac{4-2x+2x}{2-x}\)+\(\dfrac{100}{x}\)+2022

A= 2 +\(\dfrac{2x}{2-x}\)+\(\dfrac{100}{x}\)-50 +2072

A=\(\dfrac{2x}{2-x}\)+\(\dfrac{50\left(2-x\right)}{x}\)+2074

Tác có x>0 => 2x>0

            x<2 => 2-x>0

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

\(\dfrac{2x}{2-x}\)+\(\dfrac{50\left(2-x\right)}{x}\)  + 2074 >= 2\(\sqrt{\dfrac{2x.50\left(2-x\right)}{x\left(2-x\right)}}\) + 2074

                                            = 20 + 2074 = 2094

Vậy A >= 2094 và dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{2x}{2-x}\)=\(\dfrac{50\left(2-x\right)}{x}\) => x= 5/3

1. Ta có : \(A=\frac{\left(x+4\right)\left(x+9\right)}{x}=\frac{x^2+13x+36}{x}=x+\frac{36}{x}+13\)

Áp dụng bđt Cauchy : \(x+\frac{36}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{36}{x}}=12\)

\(\Rightarrow A\ge25\)

Vậy Min A = 25 \(\Leftrightarrow\begin{cases}x>0\\x=\frac{36}{x}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=6\)

2. \(B=\frac{\left(x+100\right)^2}{x}=\frac{x^2+200x+100^2}{x}=x+\frac{100^2}{x}+200\)

Áp dụng bđt Cauchy : \(x+\frac{100^2}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{100^2}{x}}=200\)

\(\Rightarrow B\ge400\)

Vậy Min B = 400 \(\Leftrightarrow\begin{cases}x>0\\x=\frac{100^2}{x}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=100\)