Xét \(x\le y\le z\) vì x,y,z nguyên dương

\(\Rightarrow xyz\ne0\)và \(x\le y\le z\Rightarrow xyz=x+y+z\le3z\)

\(\Rightarrow xy\le3\Rightarrow xy\in\left\{1;2;3\right\}\)

- Nếu \(xy=1\Rightarrow x=y=1\)ta có: \(2+z=z\)( không thỏa mãn )

- Nếu \(xy=2\Rightarrow x=1;y=2\Rightarrow z=3\)( thỏa mãn ) ( vì \(x\le y\))

- Nếu \(xy=3\Rightarrow x=1;y=3\Rightarrow z=2\)( thỏa mãn ) ( vì \(x\le y\))

Vậy......................................

 \(\text{Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. }\)
Vì \(x,y,z\)nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 
=> xy thuộc {1 ; 2 ; 3}. 
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí. 
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3. 
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2. 
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).

Ta có: \(x+y+z=xyz\)

\(\Leftrightarrow\left(x\cdot100\right)+\left(y\cdot10\right)+\left(z\cdot1\right)=xyz\)

\(\Rightarrow z=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\)

\(\Rightarrow y=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\)

\(\Rightarrow x=1,2,3,4,5,6,7,8,9\)

Không mất tính tổng quát giả sử : 0 < x\(\le\)y\(\le\)z.

Ta có: xyz = 2(x + y + z ) \(\le\)2 ( z + z + z ) = 6 z

Và xy = 2 ( x + y + z ) : z 

=> xyz \(\le\)6z

=> xy \(\le\)6

vì x, y là số nguyên dương

=> xy \(\in\){1; 2; 3; 4; 5; 6} với x\(\le\)y

+) TH1 : xy = 1 => x = y = 1

=> z = 2 ( 2 + z ) => z = 4 + 2z => z = -4 loại

+) TH2: xy = 2 => x = 1; y = 2 

=> 2 z = 2 ( 1 + 2 + z )  => 0z = 6 loại

+) TH3: xy = 3 => x = 1; y = 3

=> 3z = 2 ( 1 + 3 + z ) => z = 8  ( thỏa mãn )

+) Th4: xy = 4 => x =2 ; y = 2 hoặc x = 1; y =4

Với x =2; y = 2 => 4z =2 (  4+ z)  => z = 4 ( thỏa mãn )

Với x = 1; y = 4; => 4z = 2 ( 5 + z ) => z = 5 ( thỏa mãn)

Em làm tiếp nhé!

Ko mất tính tổng quát, giả sử \(0< x\le y\le z\)

\(\Leftrightarrow xyz=x+y+z\le3z\\ \Leftrightarrow xyz-3z\le0\\ \Leftrightarrow z\left(xy-3\right)\le0\\ \Leftrightarrow xy\le3\)

Mà \(0< x\le y\Leftrightarrow xy>0\Leftrightarrow xy\in\left\{1;2;3\right\}\)

Với \(xy=1\Leftrightarrow x=y=1\Leftrightarrow z+1+1=z\left(\text{vô nghiệm}\right)\)

Với \(xy=2\Leftrightarrow x=1;y=2\left(x\le y\right)\)

\(\Leftrightarrow3+z=2z\\ \Leftrightarrow z=3\)

Với \(xy=2\Leftrightarrow x=1;y=3\left(x\le y\right)\)

\(\Leftrightarrow1+3+z=3z\\ \Leftrightarrow2z=4\\ \Leftrightarrow z=2\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;3\right)\) và các hoán vị

x = 100

y = 20

z = 3

x=1

y=2

z=3

x=50

y=65

z=55