cho đa thức f(x) với các hệ số nguyên thoả mãn f(2019).f(2020) =2021.Hãy tìm nghiệm nguyên của đa thức f(x)-2022
Cho đa thức \(f\left(x\right)\) có bậc 3 và hệ số cao nhất bằng 2 thỏa mãn :\(f\left(2020\right)=2021\) và \(f\left(2021\right)=2022\). Tính giá trị của \(f\left(2022\right)-f\left(2019\right)=?\).
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán gợi ý giúp đỡ em tham khảo với ạ.
Em cám ơn nhiều lắm ạ!
Tìm cặp số x nguyên và y nguyên thoả mãn :
a) 3xy + x - y = 2
b) 6xy - 2y + x = 14
Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(1). f(2) = 35. Chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên
Giúp mình nhé
chứng minh rằng nếu một đa thức f(x) thỏa mãn f(2)=2020 và f(5)=2021 thì các hệ số của nó không thể đồng thời là các số nguyên.
Cho f(x) là đa thức với hệ số nguyên. Biết f(2017).f(2018)=2019. Chứng minh rằng phương trình f(x)=0 không có nghiệm nguyên.
G/s f ( x) = 0 có nghiệm nguyên là a
Khi đó: \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)g\left(x\right)\)
Ta có: f ( 2017 ) . f(2018) = 2019
<=> ( 2017 - a ) . g(2017). ( 2018 - x ) . g ( 2018) = 2019
<=> ( 2017 - a ) . ( 2018 - a ) . g ( 2018) . g(2017).= 2019
Nhận xét thấy một điều rằng ( 2017 - a ) và (2018 - a ) là hai số nguyên liền nhau
=> ( 2017 - a ) . ( 2018 - a) \(⋮\)2 => VT \(⋮\)2 => 2019 \(⋮\)2 điều này vô lí
Vậy không tồn tại; hay f(x) = 0 không có nghiệm nguyên.
Cho đa thức f(x) có hệ số nguyên biết f(0) , f(1) là các số lẻ . CMR đa thức f(x) không có nghiệm nguyên .
Nhận xét: với a, b nguyên , n nguyên dương ta có:
aⁿ và a cùng tính chẳn, lẻ ;
với x là số lẻ thì a.xⁿ và a cùng tính chẳn lẻ
và do đó, với x là số lẻ ta có:
a.xⁿ + b.x^(x-1) cùng tính chẳn lẻ với a+b
Tổng quát: với x là số nguyên lẻ, n nguyên dương, a, b, c,... nguyên ta có:
a.xⁿ + b.x^(x-1) +...+ cx cùng tính chẳn lẻ với a+b+..+c
- - - - - -
Đặt: f(x) = a.xⁿ + b.x^(x-1) + ...+ c.x + d
có f(0) = d lẻ (do giả thiết)
f(1) = a+b+..+ c +d lẻ => a+b+..+c chẳn với x nguyên tuỳ ý ta có hai trường hợp:
nếu x chẳn thì: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn => f(x) lẻ (do d lẻ)
nếu x lẻ thì từ nhận xét trên có: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn (do a+b+..+c chẳn)
=> f(x) lẻ
Tóm lại có f(x) là số lẻ với mọi x nguyên => f(x) # 0 với mọi x nguyên
=> f(x) không có nghiệm nguyên
Nhận xét: với a, b nguyên , n nguyên dương ta có:
aⁿ và a cùng tính chẳn, lẻ ;
với x là số lẻ thì a.xⁿ và a cùng tính chẳn lẻ
và do đó, với x là số lẻ ta có:
a.xⁿ + b.x^(n-1) cùng tính chẳn lẻ với a+b
tổng quát: với x là số nguyên lẻ, n nguyên dương, a, b, c,... nguyên ta có:
a.xⁿ + b.x^(n-1) +...+ cx cùng tính chẳn lẻ với a+b+..+c
- - - - - -
đặt: f(x) = a.xⁿ + b.x^(n-1) + ...+ c.x + d
có f(0) = d lẻ (do giả thiết)
f(1) = a+b+..+ c +d lẻ => a+b+..+c chẳn
với x nguyên tuỳ ý ta có hai trường hợp:
nếu x chẳn thì: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn => f(x) lẻ (do d lẻ)
nếu x lẻ thì từ nhận xét trên có: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn (do a+b+..+c chẳn)
=> f(x) lẻ
Tóm lại có f(x) là số lẻ với mọi x nguyên => f(x) # 0 với mọi x nguyên
=> f(x) không có nghiệm nguyên
~~~~~~~~~~~~
Nhận xét: với a, b nguyên , n nguyên dương ta có:
aⁿ và a cùng tính chẳn, lẻ ;
với x là số lẻ thì a.xⁿ và a cùng tính chẳn lẻ
và do đó, với x là số lẻ ta có:
a.xⁿ + b.x^(n-1) cùng tính chẳn lẻ với a+b
tổng quát: với x là số nguyên lẻ, n nguyên dương, a, b, c,... nguyên ta có:
a.xⁿ + b.x^(n-1) +...+ cx cùng tính chẳn lẻ với a+b+..+c
- - - - - -
đặt: f(x) = a.xⁿ + b.x^(n-1) + ...+ c.x + d
có f(0) = d lẻ (do giả thiết)
f(1) = a+b+..+ c +d lẻ => a+b+..+c chẳn
với x nguyên tuỳ ý ta có hai trường hợp:
nếu x chẳn thì: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn => f(x) lẻ (do d lẻ)
nếu x lẻ thì từ nhận xét trên có: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn (do a+b+..+c chẳn)
=> f(x) lẻ
Tóm lại có f(x) là số lẻ với mọi x nguyên => f(x) # 0 với mọi x nguyên
=> f(x) không có nghiệm nguyên
~~~~~~~~~~~~
Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết f(!) . f(2) = 2013
CMR: Đa thức f(x) không có nghiệm nguyên
Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết f(1).f(2)=2013. Chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên
Giả sử f(x) có nghiệm nguyên là a, Khi đó f(x)=(x−a)Q(x)
Thay x =1;2 vào biểu thức trên ta được : f(1)=(1−a)Q(1) và f(2)=(2−a)Q(2)
=> f(1).f(2)=(a−1)(a−2)Q(1).Q(2)
Hay 2013=(a−1)(a−2).Q(1)Q(2)
Ta có VT không chia hết cho 2, VP chia hết cho 2 ( vì (a−1)(a−2) chia hết cho 2 )
=> PT vô nghiệm
=> f(x) không có nghiệm nguyên
Cho đa thức: f(x)= x^3/1-3x+3x^2
a) cm: f(x) + f(1-x)=1
b) Tính giá trị biểu thức: P= f(1/2021)+f(2/2021)+...+f(2019/2021)+ f(2020/2021)
Cho đa thức F(x)=x^3+ax^2+bx+2020 với các hệ số a,b thuộc Z biết f(x) có một nghiệm là số nguyên lớn hơn 100 và nhỏ hơn 200 tìm nghiệm nguyên đó
Giải giúp mình với