Ta đặt:

\(A=1^n+2^n+3^n+4^n\)

Nếu n là số lẻ thì \(1^n+4^n⋮5;2^n+3^n⋮5\) 

Nên \(A⋮5\) 

Nếu n = 4K + 2 \(\left(k\in N\right)\) thì

\(A=1+2^{4K+2}+3^{4K+2}+4^{4K+2}=\left(1+4^{2K+1}\right)+\left(9^{2K+1}+16^{2K+1}\right)⋮5\)

Nếu n = 4K \(\left(K\in N\right)\) thì

\(A=1+2^{4K}+3^{4K}+4^{4K}=1+16^K+81^K+256^K\)

Có chữ số tận cùng là 4, không chia hết cho 5

\(\Rightarrow1^n+2^n+3^n+4^n⋮5\) khi \(n⋮̸4\left(đpcm\right)\)

Bài 1:

cho a² + b² ⋮ 3 cm: a ⋮ 3; b ⋮ 3

Giả sử a và b đồng thời đều không chia hết cho 3

      Vì a không chia hết cho 3 nên  ⇒ a² : 3 dư 1

      vì b không chia hết cho b nên   ⇒ b² : 3 dư 1

⇒ a² + b² chia 3 dư 2 (trái với đề bài)

Vậy a; b không thể đồng thời không chia hết cho ba

     Giả sử a ⋮ 3; b không chia hết cho 3 

      a ⋮ 3 ⇒  a ² ⋮ 3 

   Mà  a² + b² ⋮ 3 ⇒ b² ⋮ 3 ⇒ b ⋮ 3 (trái giả thiết) 

Tương tự b chia hết cho 3 mà a không chia hết cho 3 cũng không thể xảy ra 

Từ những lập luận trên ta có:

   a² + b² ⋮ 3 thì a; b đồng thời chia hết cho 3 (đpcm)

d) Ta có: n + 6 chia hết cho n+1

              n+1 chia hết cho n+1

=> [(n+6) - (n+1)] chia hết cho n+1

=> (n+6 - n - 1) chia hết cho n + 1

=> 5 chia hết cho n+1

=> n+1 thuộc { 1; 5 }

Nếu n+1 = 1 thì n = 1-1=0

Nếu n+1=5 thì n= 5-1=4.

Vậy n thuộc {0;4}

e) Ta có: 2n+3 chia hết cho n-2 (1)

              n-2 chia hết cho n-2 => 2(n-2) chia hết cho n-2 => 2n - 4 chia hết cho n-2 (2)

Từ (1) và (2) => [(2n+3) - (2n-4)] chia hết cho n-2

=> (2n+3 - 2n +4) chia hết cho n-2

=> 7 chia hết cho n-2

Sau đó xét các trường hợp tương tự như phần d.

e) Ta có: 2n+3 chia hết cho n-2 (1)

              n-2 chia hết cho n-2 => 2(n-2) chia hết cho n-2 => 2n - 4 chia hết cho n-2 (2)

Từ (1) và (2) => [(2n+3) - (2n-4)] chia hết cho n-2

=> (2n+3 - 2n +4) chia hết cho n-2

=> 7 chia hết cho n-2

Sau đó xét các trường hợp tương tự như phần d.

              n+1 chia hết cho n+1

=> [(n+6) - (n+1)] chia hết cho n+1

=> (n+6 - n - 1) chia hết cho n + 1

=> 5 chia hết cho n+1

=> n+1 thuộc { 1; 5 }

Nếu n+1 = 1 thì n = 1-1=0

Nếu n+1=5 thì n= 5-1=4.

Vậy n thuộc {0;4}

Bổ sung điều kiện: $n,a$ là các số nguyên.

1. Đề sai với $n=3$

2. Đề sai với $a=1$

3. Đề sai với $n=2$

Bạn xem lại đề.

Cảm ơn bạn đã đưa ý kiến