Ta có : \(1^n+2^n+3^n+4^n=10^n\) chia hết cho 5
Cũng biết, 5 chia hết cho các số có tận cùng = 0;5 .
Mà \(10^n\)có số tận cùng là 0 (vd: 105=100 000 ; 106=10 00 000..v...v) và n không chia hết cho 4(\(n\in N\)) nên sẽ chia hết cho 5
Vậy \(1^n+2^n+3^n+4^n\)chia hết cho 5 .
+) Với n=4k+3 hoặc n=4k+1 => 1n+2n+3n+4n lẻ. k \(\in\)|N.
1n+2n+3n+4n đồng đư với 1n+2n+(-2)n+(-1)n (mod 5) hay 1n+2n+3n+4n đồng đư với 1n+2n-2n-1n=0 (mod 5)
=> 1n+2n+3n+4n chia hết cho 5.
+) Với n=4k+2, k\(\in\)|N.
1+24k+2+34k+2+44k+2=1+22.24k+32.34k+42.44k
=1+4.16k+9.81k+16.256k
đồng dư với : 1.1+4.1+9.1+16.1=30 (mod 5)
=> 1n+2n+3n+4n chia hết cho 5.
+) Với n=4k, k\(\in\)|N.
1n+2n+3n+4n = 1+24k+34k+44k
= 1+16k+81k+16k
đồng dư với: 1+1+1+1=4 (mod 5)
=> 1n+2n+3n+4n không chia hết cho 5.
=> ĐPCM
A=1^n+2^n+3^n+4^n
=>n không chia hết cho 4 nên
* n lẻ:
1^n+4^n chia hết cho 5
2^n+3^n chia hếtcho 5
=> A chia hết cho 5
* n= 4k +2= 2(k+1)
A= 1^2(k+1)+2^2(k+1)+3^2(k+1)+4^2(k+1)
2^2(k+1)=4^(k+1)= (5-1)^(k+1) chia 5 dư -1
3^2(k+1)=9^(k+1) =(2.5-1)^(k+1) chia 5 dư -1
4^2(k+1)=16^(k+1)=(3.5+1)^(k+1) chia 5 dư 1
=> A chia hết cho 5
+) Với n = 4k + 3 hoặc n = 4k + 1 => 1n + 2n + 3n + 4n lẻ (k \(\in\)N)
1n + 2n + 3n + 4n đồng dư với 1n + 2n + (-2)n + (-1)n (mod 5) hay 1n + 2n + 3n + 4n đồng dư với 1n + 2n - 3n - 4n = 0 (mod 5)
=> 1n + 2n + 3n + 4n \(⋮\)5
+) Với n = 4k + 2 (k \(\in\)N)
1 + 24k+2 + 34k+2 + 44k+2 = 1 + 22 . 24k + 32 . 34k + 42 . 44k
= 1 + 4 . 16k + 9 . 81k + 16 . 256k
đồng dư với: 1 . 1 + 4 . 1 + 9 . 1 + 16 . 1 = 30 (mod 5)
=> 1n + 2n + 3n + 4n \(⋮\)5
+) Với n = 4k (k \(\in\)N)
1n + 2n + 3n + 4n = 1 + 24k + 34k + 44k
= 1 + 16k + 81k + 16k
đồng dư với: 1 + 1 + 1 + 1 = 4 (mod 5)
=> 1n + 2n + 3n + 4n \(⋮\)5 (đpcm).
+) Với n=4k+3 hoặc n=4k+1 => 1n+2n+3n+4n lẻ. k ∈|N.
1n+2n+3n+4n đồng đư với 1n+2n+(-2)n+(-1)n (mod 5) hay 1n+2n+3n+4n đồng đư với 1n+2n-2n-1n=0 (mod 5)
=> 1n+2n+3n+4n chia hết cho 5.
+) Với n=4k+2, k∈|N.
1+24k+2+34k+2+44k+2=1+22.24k+32.34k+42.44k
=1+4.16k+9.81k+16.256k
đồng dư với : 1.1+4.1+9.1+16.1=30 (mod 5)
=> 1n+2n+3n+4n chia hết cho 5.
+) Với n=4k, k∈|N.
1n+2n+3n+4n = 1+24k+34k+44k
= 1+16k+81k+16k
đồng dư với: 1+1+1+1=4 (mod 5)
=> 1n+2n+3n+4n không chia hết cho 5.
=> ĐPCM
\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
