3.1 

Xét hiệu :

\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{4ab}{4}\)

\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\in R\)

Vậy \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab,\forall a,b\in R\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow a=b\)

3.2

Áp dụng kết quả của câu 3.1 vào câu 3.2 ta được:

\(\left(a+b+c\right)^2=[a+\left(b+c\right)]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

Mà : \(a+b+c=1\left(gt\right)\)

nên : \(1\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\) ( vì a,b,c không âm nên b+c không âm )

Mà : \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\ge0,\forall b,c\in N\)

\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=c=\dfrac{1}{4};a=\dfrac{1}{2}\)

Biến đổi tương đương:

\(a^2+b^2+c^2\ge a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2\ge4ab+4ac\)

\(\Leftrightarrow a^2-4ab+4b^2+a^2-4ac+4c^2+2a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+2a^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT ban đầu được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=0\\a-2b=0\\a-2c=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c=0\)

sai đề

dấu = sảy ra khi

a và b đều là 2 số nguyên dương

\(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) khi a hoặc b là 2 số âm và dương

vd

dấu bang xảy ra khi a va b đều nguyên dương

a = 2 ; b = 3

\(\left|a\right|+\left|b\right|\) \(=\left|a+b\right|\)

\(\left|2\right|+\left|3\right|\) = 5

\(\left|2+3\right|\) =5

milk chỉ vd để bạn hiểu câu milk nói thôi

chứ milk giải như thế này là sai đấy

1/ \(a^2-b^2+c^2\ge\left(a-b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow bc-ac-b^2+ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(bc-ac\right)+\left(ab-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)(đúng)

Vì \(\hept{\begin{cases}a\ge b\\b\ge c\end{cases}}\)

2/ \(a^2-b^2+c^2-d^2\ge\left(a-b+c-d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow-d^2+cd-bd+ad+bc-ac-b^2+ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(dc-d^2\right)+\left(ad-bd\right)+\left(bc-ac\right)+\left(ba-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow d\left(c-d\right)+d\left(a-b\right)+\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)

Đúng vì \(a\ge b\ge c\ge d\ge0\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};\text{ }\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

Nhân theo vế 2 bất đẳng thức trên, ta được:

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.

Bất đẳng thức Cauchy là không đúng. Viết đúng phải là bất đẳng thức AM-GM

Các ban giúp mình nhé  cho a+2b+3c=0 cmr (a+b+c).(b+c2)≤0

Nhân cả 2 vế với 2
Xét hiệu
  2(a²+b²+c² )-2(ab+ac+bc)
=2a²+2b²+2c² -2ab -2ac -2bc
=a²-2ab+b²+b²-2bc+b²+c²-2ac+a²
=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²  luôn luôn lớn hợn hoặc =0
nên a²+b²+c² lớn hơn hoặc bằng ab-ac-bc dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Nhân cả 2 vế với 2
Xét hiệu
  2(a²+b²+c² )-2(ab+ac+bc)
=2a²+2b²+2c² -2ab -2ac -2bc
=a²-2ab+b²+b²-2bc+b²+c²-2ac+a²
=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²  luôn luôn lớn hợn hoặc =0
nên a²+b²+c² lớn hơn hoặc bằng ab-ac-bc dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Nhân cả 2 vế cho 2 ta có

2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac>=0

<=>(a+b)2+(a+c)2+b+c)2>=0 (lđ)

Dấu = xảy ra khi a=b=c