Đặt tích: \(\left(16a+17b\right)\left(17a+16b\right)=P\)

\(P=\left[11\left(2a+b\right)-6\left(a-b\right)\right]\cdot\left[11\left(2a+b\right)-5\left(a-b\right)\right]\)

P chia hết cho 11 thì

Hoặc thừa số thứ nhất \(\left[11\left(2a+b\right)-6\left(a-b\right)\right]\) chia hết cho 11 => (a - b) chia hết cho 11 => Thừa số thứ 2: \(\left[11\left(2a+b\right)-5\left(a-b\right)\right]\)cũng chia hết cho 11. Do đó P chia hết cho 11².Và ngược lại, Thừa số thứ 2 chia hết cho 11 ta cũng suy được thừa số thứ 1 cũng chia hết cho 11 và P cũng chia hết cho 11².

Vậy, P luôn có ít nhất 1 ước chính phương (khác 1) là 11². ĐPCM

Câu hỏi của lekhanhhung - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Chứng minh tích chia hết cho 121 , mà 121 là 1 số chính phương 

=> T có ít nhất 1 số chính phương.

Có : ( 16a + 17b ) ( 17a + 16b ) : 11 ( vì 11 là số nguyên tố )

= 16a + 17b : 11

    17a + 16b : 11

=G/s 16a + 17b : 11₍₁₎

Mà ( 16a + 17b ) + ( 17a + 16b ) = ( 33a + 33b ) = 11 ( 3a + 3b ) : 11

= 17a + 16b : 11₍₂₎

Từ ( 1 ) , ( 2 ) = ( 16a + 17b ) ( 17a  +16b ) : 121

Ta có: \(\left(16a+17b\right)\left(17a+16b\right)⋮11\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}16a+17b⋮11\\17a+16b⋮11\end{cases}}\)

Giả sử \(16a+17b⋮11\)

\(\Rightarrow16a+17b+17a+16b=\left(16a+17a\right)+\left(17b+16b\right)=33a+33b=33\left(a+b\right)\)

Vì \(33⋮11\) nên \(33\left(a+b\right)⋮11\)

Mà \(16a+17b⋮11\)

\(\Rightarrow17a+16b⋮11\)

Lại có: 11 là số nguyên tố

\(\Rightarrow\left(16a+17b\right)\left(17a+16b\right)⋮11^2=121\)

Vậy \(\left(16a+17b\right)\left(17a+16b\right)⋮121\).

Ta có: \(\left(16a+17b\right)\left(17a+16b\right)⋮11\) Vì 11 là số nguyên tố

=> \(\orbr{\begin{cases}16a+17b⋮11\\17a+16b⋮11\end{cases}}\)

Không mất tính tổng quát. G/S: \(16a+17b⋮11\). (1)

Chúng ta chứng minh: \(17a+16b⋮11\)

Vì \(16a+17b⋮11\)

=> \(2\left(16a+17b\right)⋮11\)

=> \(32a+34b⋮11\)

=> \(\left(33a+33b\right)-\left(a-b\right)⋮11\)

Vì \(33a+33b=11\left(3a+3b\right)⋮11\)

=> \(\left(a-b\right)⋮11\)

=> \(\left(33a+33b\right)+\left(a-b\right)⋮11\)

=> \(34a+32b⋮11\)

=> \(2\left(17a+16b\right)⋮11\) mà 2 không chia hết cho 11

=> \(17a+16b⋮11\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\left(17a+16b\right)\left(16a+17b\right)⋮\left(11.11\right)\)

=> \(\left(17a+16b\right)\left(16a+17b\right)⋮121\)

Cách khác: 

Có: \(\left(16a+17b\right)\left(17a+16b\right)⋮11\) ( vì 11 là số nguyên tố)

=>  \(\orbr{\begin{cases}16a+17b⋮11\\17a+16b⋮11\end{cases}}\)

G/s: \(16a+17b⋮11\)(1)

Mà \(\left(16a+17b\right)+\left(17a+16b\right)=\left(33a+33b\right)=11\left(3a+3b\right)⋮11\)

=> \(17a+16b⋮11\)(2)

Từ (1); (2) =>  \(\left(16a+17b\right)\left(17a+16b\right)⋮121\)

Câu hỏi của lekhanhhung - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath