a.

Do E là trung điểm AB, M là trung điểm BC

\(\Rightarrow\) EM là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow EM||AC\)

\(\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{AME}\) (so le trong) (1)

Trong tam giác vuông AHB, HE là trung tuyến ứng với cạnh huyền

\(\Rightarrow HE=\dfrac{1}{2}AB=AE\) \(\Rightarrow\Delta AHE\) cân tại E

\(\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{BAH}\) (2)

Mà \(\widehat{BAH}=\widehat{MAC}\) (giả thiết) (3)

(1);(2);(3) \(\Rightarrow\widehat{AME}=\widehat{AHE}\)

\(\Rightarrow AMHE\) nội tiếp (2 góc bằng nhau cùng chắn AE)

\(\Rightarrow\) 4 điểm A, E, M, H cùng thuộc 1 đường tròn

b.

Theo cmt AMHE nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{AHM}=90^0\) (cùng chắn AM)

\(\Rightarrow EM\perp AB\)

Mà \(EM||AC\)

\(\Rightarrow AB\perp AC\)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=90^0\)

a) Gọi P là giao điểm của AM với (O). Tam giác ABH và APC có:

\(\widehat{BAH}=\widehat{PAC}\left(gt\right)\) và \(\widehat{ABH}=\widehat{APC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

 \(\Rightarrow\Delta ABH~\Delta APC\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{ACP}\).

 Mà \(\widehat{AHB}=90^o\Rightarrow\widehat{ACP}=90^o\) . Suy ra M nằm trên đường kính AP của (O).

 Mặt khác, M lại là trung điểm của dây BC của (O), do đó nếu dây BC không phải là đường kính của (O) thì phải có \(AP\perp BC\) , điều này không chắc chắn đúng. Do đó để đảm bảo M là trung điểm BC thì BC phải là đường kính của (O).

 \(\Rightarrow\) M là tâm của (O). Từ đó \(\widehat{MBA}=\widehat{MAB}\) 

Trong tam giác HAB vuông tại H có trung tuyến HE nên \(EH=EA=EB=\dfrac{AB}{2}\), do đó \(\widehat{ABM}=\widehat{EHB}\). 

 Từ đó suy ra \(\widehat{MAB}=\widehat{EHB}\) \(\Rightarrow\) Tứ giác AMHE nội tiếp (đpcm)

b) Từ câu a), ta có BC là đường kính của (O) nên suy ra đpcm.

AM là trung trực của BC

nên A nằm trên trung trực của BC

=>AB=AC

=>ΔABC cân tại A

help me > _ <