cho a,b,c thuộc từ 1 đến 3 và a+b+c=6 tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của \(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+12abc-3\left(ab+ac+bc\right)\)
Những câu hỏi liên quan
Cho biểu thức P =\(\left(2a+2b-c\right)^2+\left(2b+2c-a\right)^2+\left(2a+2c-b\right)^2\)
1) Chứng minh P =\(9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
2)Nếu a,b,c là các số thực thỏa mãn ab + bc + ca = -1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
1/\(=4a^2+4b^2+c^2+8ab-4bc-4ca+4b^2+4c^2+a^2+8bc-4ca-4ab+4a^2+4c^2+b^2+8ca-4bc-4ab=\)
\(=9a^2+9b^2+9c^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
2/
Ta có
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge-2\left(ab+bc+ca\right)=2\)
\(\Rightarrow P=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge18\)
\(\Rightarrow P_{min}=18\)
Đúng 0
Bình luận (0)
24 tháng 12 2022 lúc 19:47
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a,A=\(\dfrac{x+1}{\sqrt{x}-2}\) với x>4
b,B=\(\dfrac{bc}{a^2b+a^2c}+\dfrac{ac}{b^2a+b^2c}+\dfrac{ab}{c^2a+c^2b}\) với a,b,c>0 và abc=1
\(A=\dfrac{x-4+5}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)+5}{\sqrt{x}-2}=\sqrt{x}+2+\dfrac{5}{\sqrt{x}-2}\)
\(=\sqrt{x}-2+\dfrac{5}{\sqrt{x}-2}+4\ge2\sqrt{\dfrac{5\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}}+4=4+2\sqrt{5}\)
\(A_{min}=4+2\sqrt{5}\) khi \(9+4\sqrt{5}\)
b.
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{l}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(B=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}\)
\(B_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\Rightarrow a=b=c=1\)
Đúng 0
Bình luận (2)
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=6\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left(2a+bc\right)\left(2b+ca\right)\left(2c+ab\right)\)
22 tháng 4 2020 lúc 17:41
Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn \(\frac{ac\left(b-1\right)}{b\left(a+c\right)}=\frac{4}{3}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{2\left(a+b\right)^2}{2a+3b}+\frac{\left(b+2c\right)^2}{2b+c}+\frac{\left(2c+a\right)^2}{c+2a}\)
Cho các số a, b, c thoả mãn \(a\ge b\ge c\)và \(ab+bc+ca=3.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A=a^2\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)+c^2\left(c+2a\right)\left(c+2b\right)+b^2\left(a+b+c\right)^2\)
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=17\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
Cho ba số dương a,b,c thoả mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A=\(14\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{ab+ac+bc}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= \(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\)
12 tháng 5 2021 lúc 21:53
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\)
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\) ; \(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^3=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{9}\)
Đúng 6
Bình luận (0)