Cho tam giác ABC nhọn. Đường cao BD, CE giao nhau tại H. I là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với IH cắt AB và AC tại M và N . Chứng minh IM=IN
Cho tam giác ABC nhọn. Đường cao BD, CE giao nhau tại H. I là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với IH cắt AB và AC tại M và N . Chứng minh HM=HN
cho tam giác ABC nhọn, góc A=45 độ. đường cao BD,CE, H là giao điểm của BD,CE, I là trung điểm của BC, đường qua H vuông góc với IH cắt AB,AC tại M,N. Chứng minh HM=HN.
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với Ab tại B, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, chúng cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm của BC
a) Chứng minh: H, M, K thẳng hàng
b) Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác BHCK là hình thoi
c) Gọi O là trung điểm của AK, CH giao với MA tại G. Chứng minh: G là trọng tâm của tam giác ABC
a: Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
=>BHCK là hình bình hành
=>H,M,K thẳng hàng
b: BHCK là hình thoi khi BH=HC
=>AB=AC
Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC. Gọi BD, CE là đường cao, H là trực tâm của tam giác ABC, I là trung điểm của BC. a) C/m AD.AC=AB.AE và góc ADE = góc ABC b) Qua H kẻ đường thẳng vuông góc vói IH cắt cạnh AB tại M, cắt cạnh AC tại N. C/m H là trung điểm của MN
Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC. Gọi BD, CE là đường cao, H là trực tâm của tam giác ABC, I là trung điểm của BC.
a) C/m AD.AC=AB.AE và góc ADE = góc ABC
b) Qua H kẻ đường thẳng vuông góc vói IH cắt cạnh AB tại M, cắt cạnh AC tại N. C/m H là trung điểm của MN
a: Xet ΔADB vuông tại D va ΔAEC vuông tại E có
góc BAD chung
=>ΔADB đồg dạng với ΔAEC
=>AD/AE=AB/AC
=>AD/AB=AE/AC và AD*AC=AE*AB
=>ΔADE đồng dạng với ΔABC
=>góc ADE=góc ABC
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với Ac tại c cắt nhau tại G. Gọi HG cắt BC tại M. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HG cắt AB, AC tại P, Q. Chứng minh
a) M là trung điểm của BC
b) Tam giác CMH đồng dạng tam giác AHP
c) PM=QM
a/
Ta có BG vuông góc AB; CH vuông góc AB => BG//CH
Ta có BH vuông góc AC; CG vuông góc AC => BH//CG
=> BHCG là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh dối // với nhau từng đôi một)
M là giao 2 đường chéo của hình bình hành BHCG => M là trung điểm của BC (trong hình bình hành hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
b/ Ta có H trực tâm của tg ABC => AH vuông góc BC; AB vuông góc CE => ^PAH = ^HCM (góc có cạnh tương ứng vuông góc) (1)
Ta có PQ vuông góc HG (đề bài) và AB vuông góc CE (đề bài) => ^APH = ^CHM (góc có cạnh tương ứng vuông góc) (2)
Từ (1) và (2) => tg CMH đồng dạng với tg AHP
c/
Cho tam giác nhọn ABC có AB<AC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. ĐƯờng thẳng đi qua C và vuông góc với AC cắt đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB tại điểm K. Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AK
a) CHứng minh: BE<CF và \(IM=\dfrac{1}{2}AH\)
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. CHứng minh: 3 điểm H, G, I thẳng hàng.
c) CM: \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=1\)
a) Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}BH\perp AC\\KC\perp AC\end{matrix}\right.\) ⇒ \(BH\text{//}KC\)
\(\left\{{}\begin{matrix}CH\perp AB\\BK\perp AB\end{matrix}\right.\) ⇒ \(CH\text{//}BK\)
\(Xét\) \(tứ\) \(giác\) \(BKCH\) \(có:\) \(\left\{{}\begin{matrix}BH\text{//}KC\\CH\text{//}BK\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác \(BKCH\) là hình hình hành. Mà M là trung điểm của đường chéo BC
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}H,M,K_{ }thẳng_{ }hàng\\HM=MK\end{matrix}\right.\)
Xét \(\Delta AHK\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AI=IK\left(gt\right)\\HM=MK\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
⇒ \(IM\) là đường trung bình của \(\Delta AHK\)
⇒ \(IM=\dfrac{1}{2}AH\) \(\left(ĐPCM\right)\)
c)
Ta có:
\(\dfrac{S_{\Delta HBC}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HD.BC}{\dfrac{1}{2}.AD.BC}=\dfrac{HD}{AD}\)
\(\dfrac{S_{\Delta HAC}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HE.AC}{\dfrac{1}{2}.BE.AC}=\dfrac{HE}{BE}\)
\(\dfrac{S_{\Delta HBA}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HF.AB}{\dfrac{1}{2}.CF.AB}=\dfrac{HF}{CF}\)
⇒ \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{\Delta HBC}+S_{\Delta HAC}+S_{\Delta HAB}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta ABC}}\)
⇔ \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=1\) \(\left(ĐPCM\right)\)
Câu 2: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K. a, Chứng minh: tam giác ABC đồng dạng tam giác EFC b, Qua C kẻ đường thẳng b song song với IK cắt AH, AB lần lượt tại N và D. Chứng minh: CN=DN; IH=KH c, Gọi G là giao của CH và AB. Chứng minh: \(\frac{AH}{HE}+\frac{BH}{HF}+\frac{HC}{HG}>6\)
cho tam giác nhọn ABC, BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H. gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên tia đối của tia HA. đường thẳng qua N vuông góc với MH cắt AB,AC lần lượt tại I,K. chứng minh rằng N là trung điểm của IK