các bạn ơi giải giúp mình đi

Bn viết lại đề đi

\(Q=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+x^2+y^2\) (1)

\(\left(x+y\right)^2=2^2\) <=> \(x^2+2xy+y^2=4\) <=> \(x^2+y^2=4-2xy\)(2)

Thay 2 vào 1 ta được : \(Q=2\left(4-3xy\right)+4-2xy=12-8xy\)

Theo bđt côsi ta có : \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) => \(2\ge2\sqrt{xy}\) => \(xy\le1\)

=> \(Q=12-8xy\ge12-8\cdot1=4\)

Dấu = xảy ra khi : \(x=y=1\)

Vậy ...

cảm ơn bạn :)

Hì ko có j đâu 

We have : \(A=x+y+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{x+y}{2}+\left(\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{y}\right)+\left(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{x}{2}\right)\)

\(Applying\) C-S we have : \(\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{y}\ge2;\dfrac{1}{2x}+\dfrac{x}{2}\ge1\)

x + y \(\ge3\)  \(\Rightarrow\dfrac{x+y}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)

So : \(A\ge\dfrac{3}{2}+2+1=\dfrac{9}{2}\)

" = " \(\Leftrightarrow x=1;y=2\)

Ta có:

x^3 + y^3 + x^2 + y^2 = 2xy(x+y)

Đặt S = x + y, P = xy, ta có:

x^3 + y^3 + x^2 + y^2 = (x+y)(x^2 + y^2) = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = S^3 - 3PS

Vậy ta có:

S^3 - 3PS + S^2 - 2P = 0

S^3 + S^2 - 3PS - 2P = S(S^2 + S - 3P) - 2P = 0

Do đó, ta có:

S^2 + S - 3P = 0

Sử dụng công thức Viết để tính nghiệm của phương trình bậc hai này, ta được:

S = (-1 + sqrt(1 + 12P))/2 hoặc S = (-1 - sqrt(1 + 12P))/2

Vì x và y là các số thực dương, nên ta chỉ quan tâm đến nghiệm dương của S, tức là:

S = (-1 + sqrt(1 + 12P))/2

Tiếp theo, ta có:

K = x^3 + y^3 + 3/(x^2 + y^2) + 2/((x+y)^2)

= S^3 - 3PS + 3/(S^2 - 2P) + 2/(S^2)

= S^3 - 3PS + 3S^2/(S^2 - 2P) + 2/(S^2)

= S^3 - 3PS + 3S^2/(S^2 - 2P) + 2S^2/(S^2 * (S^2 - 2P))

= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(S^2 * (S^2 - 2P))

= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(S^2 * (S^2 + 1 - 2xy))

= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/((S^2 + 1)^2 - 2(S^2-1)P)

= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/((S^2 + 1)^2 - 2(S^2-1)(S^3 - 3PS))

= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(-2S^5 + 10S^3 - 2PS^2 + 2P)

= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(2S^5 - 10S^3 + 2PS^2 - 2P)

= S^3 - 3PS + (5S^2 - 6P)/(2S^3 - 10S +

A = x³ + y³ + 3x².y²

= (x + y)³ - 3xy(x + y) + 3x².y²

= 8 - 6xy + 3x².y²

= 3(x²y² - 2xy + 1) + 5

= 3(xy - 1)² + 5

Do (xy - 1)² >= 0 với mọi x, y nên 3(xy - 1)² + 5 >= 5 với mọi x, y

--> A >= 5

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1.

Vậy GTNN của A là 5 (khi x = y = 1)

Biểu thức này chỉ có GTLN, ko có GTNN

\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)

\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)

\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)

\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)

Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)