a) Ta có: \(\widehat{BCD}+\widehat{BCN}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\Leftrightarrow\widehat{BCN}=180^0-\widehat{BCD}=180^0-90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BCN}=90^0\)

hay \(\widehat{MCN}=90^0\)

Xét tứ giác MCNF có 

\(\widehat{MCN}=90^0\)(cmt)

\(\widehat{FMC}=90^0\)(FM⊥BC)

\(\widehat{FNC}=90^0\)(FN⊥DC)

Do đó: MCNF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Ta có: ABCD là hình chữ nhật(gt)

nên Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau(Định lí hình chữ nhật)

mà AC cắt BD tại O(gt)

nên O là trung điểm chung của AC và BD; AC=BD

Xét ΔACF có 

O là trung điểm của AC(cmt)

E là trung điểm của AF(gt)

Do đó: OE là đường trung bình của ΔACF(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒OE//CF và \(OE=\dfrac{CF}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

hay CF//BD(đpcm)

a: ABCD là hình chữ nhật

=>AC=BD và AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔBDC có

O,E lần lượt là trung điểm của BD,BC

=>OE là đường trung bình cuả ΔBDC

=>OE//DC và OE=DC/2

OE//DC

DC\(\perp\)BC

Do đó: OE\(\perp\)BC

=>OM vuông góc BC

Xét tứ giác OBMC có

E là trung điểm chung của OM và BC

Do đó: OBMC là hình bình hành

mà OM\(\perp\)BC

nên OBMC là hình thoi

OE=DC/2

mà AB=CD(ABCD là hình chữ nhật)

nên OE=AB/2

mà \(OE=\dfrac{OM}{2}\)

nên AB=OM

OE//CD

AB//CD

Do đó: OE//AB

=>OM//AB

Xét tứ giác ABMO có

AB//MO

AB=MO

Do đó: ABMO là hình bình hành

=>AM cắt BO tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của BO

nên I là trung điểm của AM

=>A,I,M thẳng hàng

b: Xét tứ giác CFME có

\(\widehat{MFC}=\widehat{ECF}=\widehat{MEC}=90^0\)

=>CFME là hình chữ nhật

=>MF//CE và MF=CE

MF//CE
E\(\in\)BC

Do đó: BE//MF

BE=CE

CE=MF

Do đó: BE=MF

Xét tứ giác BMFE có

BE//MF

BE=MF

Do đó: BMFE là hình bình hành

a) Để tính BFD, ta có thể sử dụng tính chất của các tam giác vuông. Vì BF và FD là hai cạnh vuông góc với nhau, nên ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tính độ dài cạnh BD. Sau đó, ta sẽ tính tỉ lệ giữa cạnh BF và cạnh BD để tìm độ dài cạnh BFD.

b) Để chứng minh FC là phần giác của BPD, ta có thể sử dụng các định lý về góc và đường thẳng. Ta cần chứng minh rằng góc FCB bằng góc BPD. Để làm điều này, ta có thể sử dụng các định lý về góc đồng quy và góc nội tiếp.

c) Để chứng minh ST vuông góc với CF, ta có thể sử dụng các định lý về góc và đường thẳng. Ta cần chứng minh rằng góc STF bằng góc CFB. Để làm điều này, ta có thể sử dụng các định lý về góc đồng quy và góc nội tiếp.

a: Xét tứ giác AECF có 

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

Suy ra: AF//CE