a) Gọi I là giao điểm của AH và ED

Xét tam giác ABC có:

E là trung điểm AC

D là trung điểm AB

Vậy: ED là đg tr/bình của tam giác ABC

=> ED // BC (t/chất đg tr/bình của tam giác)

Mà: AH vuông góc BC

=> AH vuông góc ED (từ vuông góc đến //)   (1)

Xét tam giác ABH có:

D là tr/điểm AB

ID // BC (I thuộc ED; ED // BC)

Vậy: I là tr/điểm AH (2)

Từ (1) và (2) 

=> A và H đối xứng nhau qua DE

b) Vẽ đường cao FQ (trong DEFH ý)

Có: IH vuông góc ED

       FQ vuông góc ED

Vậy: IH // FQ (từ vuông góc đến //)

Có: DE // BC

Mà: HF thuộc BC

 => HF // DE

=> DEFH là h/thang 

Xét tam giác EIH và tam giác DQF có:

IH = FQ (IH và FQ là đg cao của h/thang DEFH) (P/s: 2 đường cao hạ từ đỉnh xuống cạnh đối diện với điều kiện 2 cạnh đó phải // thì 2 đg cao đó sẽ = nhau)

Góc I = góc Q (=90 độ)

Góc EHI = góc QFD (2 góc đồng vị)

Vậy: tam giác EIH = tam giác DQF (g-c-g)

=> HE = FD (2 cạnh tương ứng)

c) Có: DEFH là hình thang (c/minh ở câu b)

         Góc IEH = góc QDF (tam giác EIH = tam giác DQF)

Vậy: Hình thang DEFH là h/thang cân

a)gọi giao điểm của DE và AH là K

 Xét tam giác ABC có:

       D là trung điểm của AB(gt)

       E là trung điểm của AC(gt)

=>DE là đường trung bình của tam giác ABC(định nghĩa)

=>DE//BC(t/c)

mà AH vuông góc vs BC(gt)

=> AH vuông góc vs DE ( từ vuông góc đến //)

Xét tam giác AHC có

      KE//BC(cmt)

      E là trung điểm của AC

=> K là trung điểm của AH(định lý)

Có AH vuông góc vs DE tại K (cmt)

     K là trung điểm của AH (cmt)

=> DE là đường trung trực của AH

=> A và H đối xứng nhau qua DE ( định nghĩa)

Vậy A và H đối xứng nhau qua DE

b)Có DE là đường trung trực của AH

=> AE=EH(t/c)(1)

Xét tam giác ABC có: D là trung điểm AB(gt)

                                   F là trung điểm BC(gt)

=> DF là đường trung bình của tam giác ABC(định nghĩa)

=> DF=1/2 AC(t/c)

mà AE=1/2AC( E là trung điểm AC)=> DF=AE(2)

từ (1) và (2)=>DF=HE

Vậy DF= HE

c)Xét hình thang DEFH ( DE//FH) có

        DF=HE(cmt)

=> DEFH là hình thang cân (dhnb)

Vậy DEFH là hình thang cân

a: Ta có: ΔAHB vuông tại H

mà HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB

nên HD=AD

hay D nằm trên đường trung trực của AH(1)

ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

nên HE=AE

hay E nằm trên đường trung trực của AH(2)

Từ (1) và (2) suy ra DE là đường trung trực của AH

hay A và H đối xứng nhau qua ED

Vào đâytham khảo nè :

https://hoc24.vn/hoi-dap/question/93163.html

Để chứng minh các phần a, b và c, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và hình chữ nhật.

a. Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí trung tuyến, ta có DE là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, DE song song với cạnh AC. Tương tự, ta có DF song song với cạnh AB. Vậy DE//AC và DF//AB.

b. Ta cần chứng minh AEDF là hình chữ nhật. Đầu tiên, ta thấy DE//AC và DF//AB (theo phần a). Khi đó, ta có:

- AD = DC (vì D là trung điểm của BC)

- AE = EB (vì E là trung điểm của AB)

- AF = FC (vì F là trung điểm của AC)

Vậy ta có các cạnh đối diện của tứ giác AEDF bằng nhau, do đó AEDF là hình chữ nhật.

c. Gọi M là điểm đối xứng của D qua AB. Ta cần chứng minh M đối xứng với N qua A. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh AM = AN và góc MAN = góc NAM.

- Vì M là điểm đối xứng của D qua AB, nên ta có AM = AD.

- Vì N là điểm đối xứng của D qua AC, nên ta có AN = AD.

Do đó, ta có AM = AN.

- Ta có góc MAD = góc DAB (vì M là điểm đối xứng của D qua AB)

- Ta có góc NAD = góc DAC (vì N là điểm đối xứng của D qua AC)

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc DAB = góc DAC. Từ đó, ta có góc MAD = góc NAD.

Vậy ta có AM = AN và góc MAN = góc NAM, do đó M đối xứng với N qua A.

Vậy ta đã chứng minh được M đối xứng với N qua A.