\(a,S=\dfrac{\left(2014+4\right)\left[\left(2014-4\right):3+1\right]}{2}=\dfrac{2018\cdot671}{2}=677039\\ b,\forall n\text{ lẻ }\Rightarrow n+2013\text{ chẵn }\Rightarrow n\left(n+2013\right)⋮2\left(1\right)\\ \forall n\text{ chẵn }\Rightarrow n\left(n+2013\right)⋮2\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\RightarrowĐpcm\\ c,M=\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+...+\left(2^{17}+2^{18}+2^{19}+2^{10}\right)\\ M=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{16}\left(1+2+2^2+2^3\right)\\ M=\left(1+2+2^2+2^3\right)\left(2+...+2^{16}\right)=15\left(2+...+2^{16}\right)⋮15\)

Trường hợp 1: n=2k

A=2k(2k+2013) chia hết cho 2

Trường hợp 2: n=2k+1

A=(2k+1)(2k+2014) chia hết cho 2

Cmr:n(n+2013) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n

n(n+2013)

=n^2+n.2013

=n^2+n+2012.n

=n(n+1)+2012.n

Vì n(n+1) chia hết cho 2 và 2012.n chia hết cho 2 nên n(n+2013) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n

Bạn tham khảo ở đây: Câu hỏi của phương vy - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

Bài làm

Vì n là số tự nhiên nên n chỉ có thể là số tự nhiên chẵn, hoặc lẻ.

+) Giả sử n là số chẵn : hiển nhiên n. ( n + 2013 ) chia hết cho 2   (1)

+) Giả sử n là số tự nhiên lẻ:

ta có: n = 2k + 1(  \(k\inℕ\) ) 

 => n.( n+2013) = (2k + 1). ( 2k +1 + 2013 )

                         = (2k + 1). ( 2k + 2014)

                         = (2k + 1). 2( k + 1007) \(⋮\) 2  ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) ta có n.( n + 2013 ) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n.(đpcm)

Vì n là số tự nhiên nên n chỉ có thể là số tự nhiên chẵn, hoặc lẻ.

- Giả sử n là số chẵn : hiển nhiên n. ( n + 2013 ) chia hết cho 2   (1)

- Giả sử n là số tự nhiên lẻ: ta có: n = 2k + 1( k là số tự nhiên )  => n.( n+2013) = (2k + 1). ( 2k +1 + 2013 ) = (2k + 1). ( 2k + 2014)

                                                                                                                                             = 2. (2k + 1). ( k + 1007) chia hết cho 2  ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) ta có ( đpcm)

a)n(n+2013)

xét 2 tr hp.

tr hp 1:n là số lẻ 

=>n+2013 là số chẵn

=>n(n+2013) là số chẵn =>n(n+2013) chia hết cho 2.

tr hp 2:nlà số chẵn

=>n(n+2013) là số chẵn=> n(n+2013) chia hết cho 2.

b)M=2¹+2²+2³+2⁴+....+2²⁰

M=2.1+2.2+2.4+2.8 +2⁵.1+2⁵.2+2⁵.4+2⁵.8+.......+2¹⁷.1+2¹⁷.2+2¹⁷.4+2¹⁷.8

M=2(1+2+4+8)+2⁵(1+2+4+8)+....+2¹⁷(1+2+4+8)

M=2.15+2⁵.15+....+2¹⁷.15

=>M chiia hết cho 5

M = 2+2² +2³+2⁴+.....+2²⁰ chứng tỏ rằng M chia hết cho 5

Số số hạng của tổng là :

(20-1) : 1 +1 = 20 ( số hạng )

Ta ghép 4 số vào 1 nhóm , như vậy có số nhóm là :

20 : 4 = 5 ( nhóm )

Ta có :

M = 2+2²+2³+2⁴+2⁴+.....+2²⁰

     = ( 2 + 2²+2³+2⁴)+.....+(2¹⁷+2¹⁸+2¹⁹+2²⁰)

     = 2.(1+2+3+4)+.....+2¹⁷.(1+2+3+4)

     = 2.10+....2¹⁷.10

      = (2+...+2¹⁷ ) . 10 chia hết cho 5

Vậy ta có điều phải chứng minh.

a) tổng S bằng

(2014+4).671:2=677 039

b)n.(n+2013) để mọi số tự nhiên n mà tổng trên chia hét cho 2 thì n=2n

→2n.(n+2013)\(⋮̸\)2

C)M=2+2²+2³+...+2²⁰

=(2+2²+2³+2⁴)+...+(2¹⁷+2¹⁸+2¹⁹+2²⁰)

=(2+2²+2³+2⁴)+...+(2¹⁶.2+2¹⁶.2²+2¹⁶+2³+2¹⁶.2⁴)

=30.1+...+2¹⁶.(2+2²+2³+2⁴)

=30.1+...+2¹⁶.30

=30(1+2⁵+2⁹+2¹³+2¹⁶)\(⋮\)5

c, M= 2 + 2² + 2³ +........2²⁰

Nhận xét: 2+ 2² + 2³ + 2⁴ = 30; 30 chia hết cho 5

Khi đó: M = ( 2+2² + 2³ + 2⁴ ) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸)+.....+ (2¹⁷+2¹⁸+2¹⁹+2²⁰)

= ( 2+2² + 2³ + 2⁴ ) + 2⁴. ( 2+2² + 2³ + 2⁴ ) +...........+2¹⁶ .( 2+2² + 2³ + 2⁴ )

= 30+2⁴ .30 + 2⁸. 30 +.........+ 2¹⁶.30

= 30.(2⁴ + 2⁸ +.........+2¹⁶) chia hết cho 5 và 30 chia hết cho 5

Vậy M chia hết cho 5

a) Có:(2014-4):3+1=671 số hạng

    S=(2014+4).671:2=677039

c) ..........................................................