Áp dụng bđt Cô-si có \(\Sigma\left(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\right)\ge\Sigma2\sqrt{\frac{x^2}{y+1}.\frac{y+1}{4}}=\Sigma x\)

\(\Rightarrow\Sigma\frac{x^2}{y+1}+\Sigma\frac{y+1}{4}\ge\Sigma x\)

\(\Rightarrow\Sigma\frac{x^2}{y+1}\ge\frac{3\Sigma x}{4}-\frac{3}{4}\)

Theo bđt Cô-si \(\Sigma x\ge3\sqrt[3]{\Pi x}=3\)

\(\Rightarrow\Sigma\frac{x^2}{y+1}\ge\frac{3\Sigma x}{4}-\frac{3}{4}\ge\frac{3.3}{4}-\frac{3}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)

   Dấu "='' <=> x = y = z = 1

Ta có \(P=\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}\) \(\Rightarrow P+\frac{x+y+z+3}{4}=P+\frac{X+1}{4}+\frac{Y+1}{4}+\frac{Z+1}{4}\)

= \(\left(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\right)+\left(\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\right)+\left(\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\right)\)

Do các số trong ngoặc đều dương nên áp dụng BĐT Cô - Si, ta có :

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+1}.\frac{y+1}{4}}=x\)

Tương tự suy ra \(\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)

Vậy P + \(\frac{x+y+z+3}{4}\ge x+y+z\Rightarrow P\ge\frac{3x+3y+3z-3}{4}\left(1\right)\)

Ta có x, y, z > 0 nên theo BĐT Cô - Si, ta có : \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\left(2\right)\)

Từ (1), (2); ta có P \(\ge\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Ta có: \(xyz=1\Leftrightarrow\sqrt[3]{xyz}=1\Leftrightarrow1\le\frac{x+y+z}{3}\)( BĐT AM-GM )

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z=1

Đặt \(P=\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có: (link c/m BĐT Cauchy-schwarz Xem câu hỏi )

\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+x+y+z}=\frac{x+y+z}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z=1

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(P\ge\frac{3.\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z=1

Vậy...

a,\(\frac{x}{9}=\frac{y}{12}=\frac{z}{20}\Leftrightarrow\frac{2x}{18}=\frac{3y}{36}=\frac{z}{20}=\frac{2x-3y+z}{18-36+20}=\frac{6}{2}=3\)=3  

sai đề rồi bạn ơi 

a)

Ta có

\(\frac{x}{2}=\frac{y}{5}\Rightarrow\frac{3x}{6}=\frac{y}{5}\)

Áp dụng tc của dãy tỉ só bằng nhau

\(\Rightarrow\frac{3x}{6}=\frac{y}{5}=\frac{3x-y}{6-5}=\frac{10}{1}=10\)

=> x=2.10=20

    y=5.10=50

Ta có

\(\frac{x}{2}=\frac{y}{5}\Rightarrow\frac{x^2}{4}=\frac{y^2}{25}=\frac{xy}{10}=\frac{30}{10}=3\)

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\sqrt{12}\\x=-\sqrt{12}\end{array}\right.\)

     \(\left[\begin{array}{nghiempt}y=\sqrt{75}\\y=-\sqrt{75}\end{array}\right.\)

Mà 2;5 cùng dấu

=> x; y cùng dấu

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{12};\sqrt{75}\right);\left(-\sqrt{12};-\sqrt{75}\right)\)

a) Ta có: \(\frac{x}{2}\) = \(\frac{y}{5}\) và 3x-y = 10

=> \(\frac{3x}{6}\) = \(\frac{y}{5}\) và 3x-y = 10

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\frac{3x}{6}\) = \(\frac{y}{5}\) = \(\frac{3x-y}{6-5}\) = \(\frac{11}{1}\) = 11

=> x= \(\frac{11.6}{3}\) = 22

=> y= 11.5= 55

Vậy x= 22

       y= 55