\(\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\x^2+y^2=a^2+b^2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\x^2-a^2=b^2-y^2\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-a=b-y\\\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(y-b\right)\left(y+b\right)\end{cases}}\) (1)

Nếu \(x=a;y=b\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n\)

Nếu \(x\ne a;x\ne b\) Từ \(\left(1\right)\Rightarrow x+a=-y-b\Rightarrow x+y=-a-b\)

Mà \(x+y=a+b\Rightarrow-a-b=a+b\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-b\\x=-y\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n=0\)

Theo bài ra ta có: x⁴+y⁴=a⁴+b⁴ =>x⁴-a⁴=b⁴-y⁴ =>(x²-a²)(x²+a²) = (b²-y²)(b²+y²) =>(x-a)(x+a)(x²+a²) = (b-y)(b+y)(b²+y²) (1) 
Ta có: x+y=a+b=>x-a=b-y (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
(b-y)(x+a)(x²+a²) - (b-y)(b+y)(b²+y²) = 0 
=>(b-y) [(x+a)(x²+a²) - (b+y)(b²+y²)] = 0 
Nếu b=y thì x=a, suy ra xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 
Nếu (x+a)(x²+a²)-(b+y)(b²+y²)=0 
=>(x+a)(x²+a²)=(b+y)(b²+y²) 
=>x+a=b+y và x²+a²=y²+b² (*) 
=>x=b+y-a (3) và x²+a²=y²+b² (4) 
Thay (3) vào (4) ta được: 
(b+y-a)²+a²=y²+b² 
=>b²+y²+a²+2by-2ab-2ay+a²=b²+y² 
=>2a²+2by-2ab-2ay=0 
=>a²+by-ab-ay=0 
=>a(a-b)-y(a-b)=0 =>(a-b)(a-y)=0 
=>a=b hoặc a=y 
*Nếu a=b từ (*) suy ra x=y 
=> xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 
*Nếu a=y từ (*) suy ra x=b 
=>xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 
Vậy xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 

Lưu ý: biểu thức chỉ đúng với n dương

\(thanks\)   bn nhé!!!!!

Theo bài ra ta có: x⁴+y⁴=a⁴+b⁴ =>x⁴-a⁴=b⁴-y⁴ =>(x²-a²)(x²+a²) = (b²-y²)(b²+y²) =>(x-a)(x+a)(x²+a²) = (b-y)(b+y)(b²+y²) (1) 
Ta có: x+y=a+b=>x-a=b-y (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
(b-y)(x+a)(x²+a²) - (b-y)(b+y)(b²+y²) = 0 
=>(b-y) [(x+a)(x²+a²) - (b+y)(b²+y²)] = 0 
Nếu b=y thì x=a, suy ra xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 
Nếu (x+a)(x²+a²)-(b+y)(b²+y²)=0 
=>(x+a)(x²+a²)=(b+y)(b²+y²) 
=>x+a=b+y và x²+a²=y²+b² (*) 
=>x=b+y-a (3) và x²+a²=y²+b² (4) 
Thay (3) vào (4) ta được: 
(b+y-a)²+a²=y²+b² 
=>b²+y²+a²+2by-2ab-2ay+a²=b²+y² 
=>2a²+2by-2ab-2ay=0 
=>a²+by-ab-ay=0 
=>a(a-b)-y(a-b)=0 =>(a-b)(a-y)=0 
=>a=b hoặc a=y 
*Nếu a=b từ (*) suy ra x=y 
=> xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 
*Nếu a=y từ (*) suy ra x=b 
=>xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 
Vậy xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 

đặt \(\left\{{}\begin{matrix}S=X+Y\\P=X.Y\end{matrix}\right.\)

a)\(\left\{{}\begin{matrix}S+P=5\\S^2-P=7\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}P=5-S\\S^2+S-12=0\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}P=5-S\\\left[{}\begin{matrix}S=-4\\S=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}S=-4\\P=9\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}S=3\\P=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

suy ra tìm đc x và y

b,c tương tự

\(c^2=\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{c^2}{a^2+b^2}\) (đpcm)

theo bài ta có x+y=60 (1)

x/y =3/2 suy ra \(\frac{x}{3}\)=\(\frac{y}{2}\)=\(\frac{x+y}{3+2}\)

từ 1 \(\Rightarrow\) \(\frac{x+y}{3+2}\)=\(\frac{60}{5}\)=12

\(\Rightarrow\frac{x}{3}\) =12\(\Rightarrow x=36\)

\(\Rightarrow\frac{y}{2}\) =12\(\Rightarrow y=24\)