x+1/y và y+1/x là các số nguyên 

=> (x+1/y).(y+1/x) là số nguyên

<=> xy+1/xy+2 là số nguyên 

<=> xy+1/xy là số nguyên

<=> (xy+1/xy)^2 là số tự nhiên

<=> x^2y^2+1/x^2y^2+2 là số tự nhiên

=> x^2y^2+1/x^2y^2 là số nguyên

=> ĐPCM

k mk nha

cảm ơn bạn/anh/chị/thầy/cô nhiều nha

Gọi số cần tìm là A

Ta xét các trường hợp

voi x, y lẻ thì tử lẻ mẫu chẵn nên A không phải số nguyên vì tử không chia hết cho mẫu

voi ít nhất x, y là chẵn thì A luôn là số chẵn nếu tử chia hết cho mẫu

Ma số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 nên A = 2

ta thấy x = 1 không phải là số cần tìm nên ta xét x >= 2

Ta có x²y² = 2x² + 2y²

<=> x²(y² - 2) = 2y²

<=> x² = (2y²)/(y² - 2) \(\ge\) 4

<=> y² >= 2y² - 4 

<=> y² <= 4

vi y nguyên dương nên y = 1 hoặc 2 thế vào ta tìm được giá trị (x; y) = (2;2)

Gọi số cần tìm là A

Ta xét các trường hợp

voi x, y lẻ thì tử lẻ mẫu chẵn nên A không phải số nguyên vì tử không chia hết cho mẫu

voi ít nhất x, y là chẵn thì A luôn là số chẵn nếu tử chia hết cho mẫu

Ma số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 nên A = 2

ta thấy x = 1 không phải là số cần tìm nên ta xét x >= 2

Ta có x2y2 = 2x2 + 2y2

<=> x2(y2 - 2) = 2y2

<=> x2 = (2y2)/(y2 - 2) ≥ 4

<=> y2 >= 2y2 - 4 

<=> y2 <= 4

vi y nguyên dương nên y = 1 hoặc 2 thế vào ta tìm được giá trị (x; y) = (2;2)

Cảm thấy đề có gì đó sai sai ở cả tử và mẫu, bạn check lại thử.

\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\sqrt{1+x^2y^2}\)

\(\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}=2\sqrt{\frac{1}{16xy}+xy+\frac{15}{16xy}}\)

\(\ge2\sqrt{2\sqrt{\frac{1}{16xy}\cdot xy}+\frac{15}{4\left(x+y\right)^2}}=2\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{15}{4}}=\sqrt{17}\)

Dấu "=" xảy ra tai x=y=1/2

Lũy thừa các số thực mang dấu duong khi số mũ chẵn .
Mà 2 là số chẵn
=> x^2 dương ; y^2 dương .
Số dương nhân với số dương ta luôn được kết quả là số dương
=> x^2y^2 dương
Vì số dương thuộc tập hợp các số nguyên nên x^2y^2 nguyên