Có tồn tại hay không số nguyên dương \(n\) thỏa mãn điều kiện \(4^n+210\) là tích của không ít hơn hai số nguyên dương liên tiếp?
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán giúp đỡ em với ạ!
Em cám ơn nhiều ạ!
Có tồn tại hay không các số nguyên dương \(x;y;n\) với \(n>1\) thỏa mãn điều kiện \(\left(x;n+1\right)=1\) và \(x^n+1=y^{n+1}\) ?
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn giúp đỡ em tham khảo với ạ, em cám ơn nhiều ạ!
Tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) thỏa mãn điều kiện sau \(3^n+n^2+23\) là số chính phương.
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán gợi ý , giúp đỡ em với ạ!
Em cám ơn nhiều ạ!
Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện \(n^3-5n+10\) là một lũy thừa của 2.
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán gợi ý giúp đỡ em với ạ!
Em cám ơn nhiều lắm ạ!
Tìm số nguyên dương n lớn nhất thỏa mãn n là ước của mọi số nguyên dương \(p^6-1\) với \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 7.( Trích đề thi JBMO 2016)
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán , gợi ý giúp đỡ em tham khảo với ạ!
Em cám ơn nhiều lắm ạ!
Cho hai số nguyên dương \(a;b\) với \(b>1\) và thỏa mãn điều kiện \(A=\dfrac{a^2}{2.a.b^2-b^3+1}\) là số nguyên dương. Chứng minh rằng \(A\) là số chính phương.
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán gợi ý giúp đỡ em với ạ!
Em cám ơn nhiều lắm ạ!
\(\dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1}=m\in Z^+\Rightarrow a^2-2mb^2a.+mb^3-m=0\)
\(\Rightarrow\Delta=4m^2b^4-4mb^3+4m\) là SCP (1)
Ta dễ dàng chứng minh được:
\(4m^2b^4-4mb^3+4m>\left(2mb^2-b-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4m\left(b^2+1\right)>\left(b+1\right)^2\)
Đúng do: \(2m.2\left(b^2+1\right)\ge2m\left(b+1\right)^2>\left(b+1\right)^2\)
Tương tự, ta cũng có: \(4m^2b^4-4mb^3+4m< \left(2mb^2-b+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2+4m\left(b^2-1\right)>0\) (luôn đúng với b>1;m>0)
\(\Rightarrow\left(2mb^2-b-1\right)^2< 4m^2b^4-4mb^3+4m< \left(2mb^2-b+1\right)^2\)
\(\Rightarrow4m^2b^4-4mb^3+4m=\left(2mb^2-b\right)^2\)
\(\Rightarrow b^2=4m\)
\(\Rightarrow b\) chẵn \(\Rightarrow b=2k\Rightarrow m=k^2\)
Thế vào (1) \(\Rightarrow a^2-8k^4a+8k^5-k^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-k\right)\left(a-8k^4+k\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=k\\a=8k^4-k\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm của pt là: \(\left(a;b\right)=\left(k;2k\right);\left(8k^4-k;2k\right)\) với k nguyên dương
Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn \(n^3-5n+10\) là một lũy thừa của 2.
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán gợi ý giúp đỡ em tham khảo với ạ ạ!
Cho hai số nguyên dương \(a;b\) thỏa mãn điều kiện \(2a+5b\) và \(2b+5a\) đều là số chính phương . Chứng minh rằng cả hai số \(a;b\) cùng chia hết cho 7.
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán giúp đỡ em với ạ!
Em cám ơn nhiều lắm ạ!
Bài toán này dựa trên bài toán mà bạn đã đăng hôm trước: nếu \(m^2+n^2\) chia hết cho 7 thì cả m và n đều chia hết cho 7.
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}5a+2b=m^2\\2a+5b=n^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow7\left(a+b\right)=m^2+n^2\)
\(\Rightarrow m^2+n^2⋮7\)
\(\Rightarrow m;n\) đều chia hết cho 7
\(\Rightarrow m^2;n^2\) đều chia hết cho 49
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a+2b⋮49\\2a+5b⋮49\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(a-b\right)⋮49\\7\left(a+b\right)⋮49\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b⋮7\\a+b⋮7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a⋮7\\2b⋮7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a⋮7\\b⋮7\end{matrix}\right.\) (đpcm)
Cho hai số nguyên dương \(x;y\) thỏa mãn điều điện \(\dfrac{x^2+x+1}{x.y+1}\) là số nguyên dương.
Tính giá trị của \(P=y-x=?\)
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán, gợi ý giúp đỡ em tham khảo với ạ!
em cám ơn nhiều lắm ạ!
Với \(y=1\Rightarrow\dfrac{x^2+x+1}{x+1}\in Z\Rightarrow\dfrac{1}{x+1}\in Z\Rightarrow\) ko tồn tại x nguyên dương thỏa mãn (loại)
Với \(y>1\):
Đặt \(\dfrac{x^2+x+1}{xy+1}=k\Rightarrow x^2-\left(ky-1\right)x+1-k=0\)
\(\Delta=\left(ky-1\right)^2+4\left(k-1\right)\) là số chính phương
Ta có: \(k\ge1\Rightarrow\left(ky-1\right)^2+4\left(k-1\right)\le\left(ky-1\right)^2\)
Đồng thời \(y>1\Rightarrow y\ge2\Rightarrow2ky\ge4k>3\)
\(\Rightarrow\left(ky-1\right)^2+4\left(k-1\right)=\left(ky-2\right)^2+\left(2ky-3\right)+4\left(k-1\right)>\left(ky-2\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(ky-2\right)^2< \left(ky-1\right)^2+4\left(k-1\right)\le\left(ky-1\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(ky-1\right)^2+4\left(k-1\right)=\left(ky-1\right)^2\)
\(\Rightarrow k=1\Rightarrow\dfrac{x^2+x+1}{xy+1}=1\)
\(\Rightarrow x^2+x=xy\Rightarrow y=x+1\)
\(\Rightarrow y-x=1\)
Tìm tất cả các số nguyên \(n\) thỏa mãn điều kiện \(P=\dfrac{n^6-1}{n-1}\) là một số lập phương ?
P/s: Em xin phép nhờ sự giúp đỡ của quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán ạ!
Em cám ơn nhiều lắm ạ!