Xét \(\Delta ABN\) và \(\Delta ACP\) có 

^\(BAN=\) ^\(CAP\) (góc chung)

^\(ANB=\) ^\(APC\) (\(=90^o\) )

\(\Rightarrow\Delta ABN~\Delta ACP\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AN}{AP}\Rightarrow AB.AP=AN.AC\)  

Vậy ....

B, 

Từ \(\frac{AB}{AC}=\frac{AN}{AP}\Rightarrow\frac{AP}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Xét \(\Delta APNv\text{à}\Delta ACB\)  

^\(PAN=\) ^\(CAP\) (góc chung)

\(\frac{AP}{AC}=\frac{AN}{AB}\) (CMT)

\(\Rightarrow\Delta APN~\Delta ACB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\) ^\(APN=\) ^\(ACP\) (2 GÓC TƯƠNG ỨNG)

KL....( nhớ k cho mk nha)

a) Ta thấy \(\widehat{BAM}=\widehat{BCM}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{ABC}\) )

Vậy nên \(\widebat{KB}=\widebat{MB}\), suy ra \(\widehat{KCB}=\widehat{MCB}\) (Hai góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)

Gọi giao điểm của ba đường cao là H.

Xét tam giác MHC có CD là đường cao đồng thời là phân giác nên tam giác MHC cân tại C.

Vậy thì CD cũng là trung tuyến hay DM = DH.

Ta có \(\frac{AM}{AD}=\frac{AD+DM}{AD}=1+\frac{DM}{AD}=1+\frac{DH}{AD}\)

Tương tự \(\frac{BN}{BE}=1+\frac{HE}{BE};\frac{CK}{CF}=1+\frac{FH}{CF}\)

Ta có \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=3+\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}\)

Lại thấy rằng \(\frac{DH}{AD}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}};\frac{HE}{BE}=\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}};\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}\)

nên \(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

Vậy thì \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=3+1=4\)

Bạn vẽ hình đi mình làm cho

vẽ hình đi bạn ơi

a: Xét tứ giác HMCN co

góc HMC+góc HNC=180 đô

=>HMCN là tứ giác nội tiếp

b: góc CBE=1/2*sđ cung CE
góc CAD=1/2*sđ cung CD

mà góc CBE=góc CAD

nên CE=CD

c: góc BHD=góc ACB=1/2*sđ cung AB=góc BDH

=>ΔBHD cân tại B