4.

\(ab+bc+ca=3abc\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)

Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=3\)

\(S=\sum\dfrac{\dfrac{1}{y^2}}{\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)}=\sum\dfrac{x^3}{x^2+y^2}=\sum\left(x-\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}\right)\)

\(S\ge\sum\left(x-\dfrac{xy^2}{2xy}\right)=\sum\left(x-\dfrac{y}{2}\right)=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{3}{2}\)

\(S_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)

5.

Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{2}{b};\dfrac{3}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=3\)

Đặt vế trái là P

\(P=\dfrac{z^3}{x^2+z^2}+\dfrac{x^3}{x^2+y^2}+\dfrac{y^3}{y^2+z^2}\)

Quay lại dòng 3 của bài số 4

6.

Do a;b;c không âm, ta có:

\(b^2\left(b-1\right)^2\left(b+2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow b^5-3b^3+2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow b^5-3b^3+2b^2-6\ge-6\)

\(\Leftrightarrow-\left(3-b^2\right)\left(b^3+2\right)\ge-6\)

\(\Leftrightarrow6\ge\left(3-b^2\right)\left(b^3+2\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{b^3+2}\ge\dfrac{3-b^2}{6}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b^3+2}\ge\dfrac{a\left(3-b^2\right)}{6}\)

Tương tự: \(\dfrac{b}{c^3+2}\ge\dfrac{b\left(3-c^2\right)}{6}\) ; \(\dfrac{c}{a^3+2}\ge\dfrac{c\left(3-a^2\right)}{6}\)

Cộng vế: \(P\ge\dfrac{a+b+c}{2}-\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2+abc}{6}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2+abc}{6}\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(b=mid\left\{a;b;c\right\}\)

\(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow b^2+ac\le ab+bc\)

\(\Leftrightarrow ab^2+ca^2\le a^2b+abc\)

\(\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2+abc\le bc^2+a^2b+2abc=b\left(a+c\right)^2=4b\left(\dfrac{a+c}{2}\right)\left(\dfrac{a+c}{2}\right)\le\dfrac{4}{27}\left(a+b+c\right)^3=4\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{6}=\dfrac{5}{6}\)

\(\left(3x\right)^2-42xy+49y^2=\left(3x-7y\right)^2\)

\(\left(3x+y\right)\left(3x-y\right)=9x^2-y^2\)

\(\left(5y-3x\right)\left(5y+3x\right)=25y^2-9x^2\)

8: Ta có: \(\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{5}+1-\sqrt{5}+1\)

=2

Bạn chú thích hơi quá lố :) 

Ta có :( 5x - 3y + 4z ) . ( 5x - 3y - 4z ) \(=\left(5x-3y\right)^2-16z^2\)

\(=25x^2-30xy+9y^2-16z^2\)

Mà x^2=y^2 + z^2 nên ( 5x - 3y + 4z ) . ( 5x - 3y - 4z )\(=25x^2-30xy+9y^2-16\left(x^2-y^2\right)\)

\(=9x^2-30xy+25y^2=\left(3x-5y\right)^2\)

Học tốt !

\(\left(5x-3y+4z\right)\left(5x-3y-4z\right)=\left(3x-5y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(5x-3y\right)^2-16z^2-\left(3x-5y\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(5x-3y-3x+5y\right)\left(5x-3y+3x-5y\right)-16z^2=0\)

\(\Leftrightarrow16x^2=16y^2+16z^2\)(luôn đúng)

 \(a^2-3ab+2c=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-3\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+2\left(x^3+y^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy-3x^3-3xy^2-3yx^2-3y^3+2y^3+2x^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)^3=0\)

Hình như đề hơi sai nếu là a^3 thì ms đúng chứ

mk chỉ góp ý thui tại làm mãi ko ra

hhihihihi

8D 5D 6B

c) ta có: x-y=x.y

=>x-y-x.y=0 (chuyển vế đổi dấu)

x-y-xy+1=1 (cộng hai vế cho 1)

(x-xy)+(1-y)=1

x.(1-y)+(1-y)=1

(1-y).(x+1)=1

=>1-y và x+1 thuộc ước của 1= {1;-1}

với 1-y=1 và x+1=1

=>y=0 và x=0

với 1-y=-1 và x+1=-1

=>y=2 và x=-2