Cmr \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
mả x/a + y/b + z/c = 1 va a/x + b/y + c/z = 0
Cho : \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1;\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\left(a,b,c,x,y,z\ne0\right)\)
CMR : \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
Đặt : x/a = m ; y/b = n ; z/c = p
=> m+n+p = 1 ; 1/m+1/n+1/p=0
1/m+1/n+1/p=0
<=> mn+np+pm/mnp=0
<=> mn+np+pm=0
<=> 2mn+2np+2pm=0
Xét : 1 = (m+n+p)^2 = m^2+n^2+p^2+2mn+2np+2pm = m^2+n^2+p^2
=> x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 = 1
=> ĐPCM
Tk mk nha
Ta có: \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)
\(\Rightarrow\frac{ayz}{xyz}+\frac{bxz}{xyz}+\frac{cxy}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow\frac{ayz+bxz+cxy}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\left(1\right)\)
Mặt khác: \(\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac}\right)=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{cxy+ayz+bxz}{abc}\right)=1\left(2\right)\)
Thay (1) vào (2) \(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2.\frac{0}{abc}=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\left(đpcm\right)\)
cho \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) va \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\) \(CMR\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
bình phương phương trình 1 theo công thức: (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=0
quy đồng phương trình 2 đc ayz+bxz+cxy=0
rồi đc kết quả cuối cuungf
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{a}=m\\\frac{y}{b}=n\\\frac{z}{c}=o\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}=\frac{1}{m}\\\frac{b}{y}=\frac{1}{n}\\\frac{z}{c}=\frac{1}{o}\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m+n+o=1\\\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{o}=0\end{cases}}\)
Ta có \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{o}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{mn+mo+no}{mno}=0\)
\(\Leftrightarrow mn+mo+no=0\)
Ta lại có: \(m+n+o=1\)
\(\Leftrightarrow\left(m+n+o\right)^2=1^2\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2+o^2+2\left(mn+mo+no\right)=1\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2+o^2+2.0=1\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2+o^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2+\left(\frac{z}{c}\right)^2=1\left(ĐPCM\right)\)
đặt lâu lắm Nguyễn tấn phát à
làm theo cách của chị kìa
cách đó nhanh gọn hơn
\(Cho:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1và:\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{x}=0.\\ CMR:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
Bạn chỉ cần bình phương PT x/a + y/b + z/c
và chỉ ra ayz + bxz + cxy = 0 ở PT 2 là xong
:D
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\)
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Rightarrow(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})^2=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac})=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1-2(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac})=1-2\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}=1-2\cdot0=1(đpcm)\)
bài 1) CMR
a) (x+y)(y+z)(z+x)=0 (x;y;z#0)
thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
b) cho \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1và\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)
chứng minh \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
Ta có:
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2.\frac{xyz}{abc}\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\left(đpcm\right)\)
Cho \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,\frac{a}{z}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)
Cmr: \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{c^2}{z^2}=1\)
Vì xyz khác 0 nên ayz+bxz+cxy=0 (2)
Thế (2) vào (1) ta được x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 + 2(0/abc) = x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 ( đpcm )2. a) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>1\\x+y+z=xyz\end{matrix}\right.\) Tìm min \(P=\frac{x-1}{y^2}+\frac{y-1}{z^2}+\frac{z-1}{x^2}\)
b) \(a,b,c>0.Cmr:\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z\ge0\\x^2+y^2+z^2=2\end{matrix}\right.\) Tìm max \(P=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}-\frac{1+yz}{9}\)
d) \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=3\end{matrix}\right.\). Cmr: \(\frac{a}{ab+3c}+\frac{b}{bc+3a}+\frac{c}{ca+3b}\ge\frac{3}{4}\)
\(A=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{a}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(A=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\ge27.\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8\left(a+b+c\right)^3}\)\(=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{8}\)\(\ge\frac{9-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{8}=\frac{9-3}{8}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
b) Mạnh hơn, và dễ dàng hơn là:
\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{\sum c\left(a-b\right)^2}{abc}\)
Nó tương đương với: \({\frac {{a}^{2}}{{b}^{2}}}+{\frac {{b}^{2}}{{c}^{2}}}+{\frac {{c}^{2} }{{a}^{2}}}+3-2\,{\frac {a}{b}}-2\,{\frac {b}{c}}-2\,{\frac {c}{a}} \geqq 0\)
Là hiển nhiên vì \(\frac{a^2}{b^2}+1\ge\frac{2a}{b}\)
Đơn giản:))
a) Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow ab+bc+ca=1;0< a,b,c< 1\)
Cần chứng minh: \(P=\sum\frac{\frac{1}{a}-1}{\frac{1}{b^2}}=\sum\frac{b^2-ab^2}{a}\ge\sqrt{3}-1\)
Hay là: \(\left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\right)\sqrt{ab+bc+ca}\ge\left(\sqrt{3}-1\right)\left(ab+bc+ca\right)+a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\right)^2\left(ab+bc+ca\right)\ge\) \(\Big[ (\sqrt{3} -1) (ab+bc+ca) +a^2+b^2+c^2\Big]^2\)
Giả sử \(c=\min\{a,b,c\}\) và đặt \(a=c+u, \, b=c+v \, (u,\, v \geq 0)\)
Nếu mình không nhìn nhầm, sau khi rút gọn, nhóm lại theo biến c, bạn nhận được một cái gì đó gọi là hiển nhiên
Chúc may mắn, mình mới rút gọn thử thì thấy có vẻ hiển nhiên thật :))
Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0. CMR :
Nếu \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\) và \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)thì \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
Ờm thì đại khái như vầy , dùng thêm hằng cao cấp mới chơi được =))
Link : Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ – Wikipedia tiếng Việt
Dùng hằng mở rộng số 4
Ta có :
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow ayz+bxz+cxy=0\) (1)
Lại có :
\(\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)^2=\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1^2=1\) (chỗ này dùng cái skill mở rộng)
<=> \(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\left(\frac{xyc}{abc}+\frac{ayz}{abc}+\frac{bzx}{abc}\right)=1\)
<=> \(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}=1\)
Thay 1 vào
=> \(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}=1\)
mình giải hơi khác 1 chút, nhưng thôi cx đc
Sửa lại :
Lại có :
\(\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xyc}{abc}+\frac{yza}{abc}+\frac{zxb}{cba}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2.\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
1.Cho a,b,c dương, a+b+c≤1.CMR: \(\frac{a^2+1}{a}+\frac{b^2+1}{b}+\frac{c^2+1}{c}\ge10\)
2.Cho a,b, c >0. CMR: \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82};x+y+z\le1\)
2.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki :
\(\left(1+9^2\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow82\cdot\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{82}\cdot\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge x+\frac{9}{x}\)
Tương tự ta cũng có :
\(\sqrt{82}\cdot\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge y+\frac{9}{y}\)
\(\sqrt{82}\cdot\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge z+\frac{9}{z}\)
Cộng theo vế của các bất đẳng thức ta được :
\(\sqrt{82}\cdot\left(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\right)\ge x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{82}\cdot P\ge x+\frac{9}{x}+y+\frac{9}{y}+z+\frac{9}{z}\)(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(x+\frac{9}{x}+y+\frac{9}{y}+z+\frac{9}{z}=81x+\frac{9}{x}+81y+\frac{9}{y}+81z+\frac{9}{z}-80x-80y-80z\)
\(\ge2\sqrt{\frac{81x\cdot9}{x}}+2\sqrt{\frac{81y\cdot9}{y}}+2\sqrt{\frac{81z\cdot9}{z}}-80\left(x+y+z\right)\)
\(\ge2\sqrt{729}+2\sqrt{729}+2\sqrt{729}-80\cdot1\)
\(=82\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\sqrt{82}\cdot P\ge82\)
\(\Leftrightarrow P\ge\sqrt{82}\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
1.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
\(\frac{a^2+1}{a}+\frac{b^2+1}{b}+\frac{c^2+1}{c}\)
\(=a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}\)
\(=9a+\frac{1}{a}+9b+\frac{1}{b}+9c+\frac{1}{c}-8a-8b-8c\)
\(\ge2\sqrt{\frac{9a}{a}}+2\sqrt{\frac{9b}{b}}+2\sqrt{\frac{9c}{c}}-8\left(a+b+c\right)\)
\(\ge3\cdot2\sqrt{9}-8=10\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(CMR:\hept{\begin{cases}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=1&\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0&\end{cases}}\)
Thì \(:\hept{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=1}\)
Trả lời :
Vì \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=1^2\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=1\left(dpcm\right)\)
Study ưell
Không chắc