3³⁰⁰ = ( 3³ )¹⁰⁰ = 27¹⁰⁰

5²⁰⁰ = ( 5² )¹⁰⁰ = 25¹⁰⁰

Vì 27 + 25 = 52 ⋮ 13 ⇒ 27¹⁰⁰ + 25¹⁰⁰ ⋮ 13 ⇒ 3³⁰⁰ + 5²⁰⁰ ⋮ 13

Vậy 3³⁰⁰ + 5²⁰⁰ ⋮ 13

Ta có: 21²=441 đồng dư với 1(mod 200)

=>21² đồng dư với 1(mod 200)

=>(21²)⁵ đồng dư với 1⁵(mod 200)

=>21¹⁰ đồng dư với 1(mod 200)

=>21¹⁰-1 đồng dư với 1-1=0(mod 200)

=>21¹⁰-1 đồng dư với 0(mod 200)

=>21¹⁰-1 chia hết cho 200

Ta có :

\(21^{10}-1=\left(21^5-1\right)\left(21^5+1\right)=\left(...00\right)\left(21^5+1\right)\)

Đặt \(21^5+1=2k\) ( Do tổng 2 số lẻ chia hết cho 2 )

\(21^5-1=\left(...00\right)=100n\)

\(\Rightarrow21^{10}-1\)có dạng \(200kn\)chia hết cho 200.

Ta có :

21⁵ đồng dư với 101 ( mod 200 )

⇒ 21¹⁰ đồng dư với 101² đồng dư với 1 ( mod 200 )

⇒ 21¹⁰ - 1 đồng dư với 1 - 1 đồng dư với 0 ( mod 200 )

Vậy 21¹⁰ - 1 ⋮ 200

* Ở đây mình dùng cách giải bên toán máy tính cầm tay, có sử dụng hệ quả : nếu a đồng dư với b ( mod m ) thì cũng có a - c đồng dư với b - c ( mod m ) ( c ∈ N )

https://vn.answers.yahoo.com/question/index?qid=20111212062832AACt3bZ

Ta có: 21²=441 đồng dư với 1(mod 200)

=>21² đồng dư với 1(mod 200)

=>(21²)⁵ đồng dư với 1⁵(mod 200)

=>21¹⁰ đồng dư với 1(mod 200)

=>21¹⁰-1 đồng dư với 1-1=0(mod 200)

=>21¹⁰-1 đồng dư với 0(mod 200)

=>21¹⁰-1 chia hết cho 200

Ta có : x⁶ⁿ-1=(x⁶-1).A=(x²-1)(x⁴+x²+1)A chia hết cho x⁴ + x² +1

Khi đó : M=x²⁰⁰+x¹⁰⁰+1=x²⁰⁰-x²+x¹⁰⁰-x⁴+(x⁴+x²+1)= x²​​[(x⁶)³³-1]-x⁴ [(x⁶)¹⁶-1]+(x⁴ + x² +1)

Vì x²​​[(x⁶)³³-1]chia hết cho x⁴ + x² +1

x⁴ [(x⁶)¹⁶-1]chia hết cho x⁴ + x² +1

Nên .....

làm thế thì hơi rối