a, 4x=5y=> x/5=y/4 => x/5=y/4=3x/15=2y/8 => 3x-2y/15-8=35/7=5( theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau) => x=25;y=20 b, x/2=y/3=z/5 =>x+y+z/2+3+5=-90/10=-9(theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau) =>x=-18;y=-27;z=-45 c, x:y:z=3:5:(-2) => x/3=y/5=z/-2 =5x/15=y/5=3z/-6 =>5x-y+3z/15-5+(-6)(theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau) =124/4=31 =>x=93;y=155;z=-62 Mik sẽ bổ sung sau vì máy mik sắp hết pin

b) \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}\) = \(\dfrac{x+y+z}{2+3+5}=\dfrac{-90}{10}=-9\)

\(\dfrac{x}{2}=-9\) => x= -18

\(\dfrac{y}{3}=-9\) => y = -27

\(\dfrac{z}{5}=-9\) => z = -45

a) \(4x=5y\) <=> \(x=\dfrac{5y}{4}\)

\(3\cdot\dfrac{5y}{4}-2y=35\)

=> y = 20

=> x = \(\dfrac{5\cdot20}{4}\)=25

ten nghe quen vler==

\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}=\frac{x^2}{x^6}+\frac{1}{y^4}\ge\frac{\left(x+1\right)^2}{x^6+y^4}\ge\frac{4x}{x^6+y^4}\)

tương tự

\(\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\ge\frac{4y}{y^6+z^4}\);

\(\frac{1}{z^4}+\frac{1}{x^4}\ge\frac{4z}{z^6+x^4}\);

cộng vế với vế => đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1

Cô si

Cách khác:

\(x^6+y^4\ge2\sqrt{x^6y^4}=2x^3y^2\)

\(\Rightarrow\frac{2}{x^6+y^4}\le\frac{1}{x^2y^2}\)

CMTT , ta có VT \(\le\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{z^2x^2}\)

Bổ đề: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) ( luôn đúng)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{z^2x^2}\le\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\)

ĐPCM

Dấu " =" xảy ra khi x=y=z=1

Nếu một trong các số x,y,z bằng không thì dễ thấy các số còn lại cũng bằng 0

Suy ra x;y;z khác 0

Đặt \(2=a;4=b;6=c\) khi đó ta có:

\(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}\)

\(\Rightarrow\frac{xyz}{ayz+bxz}=\frac{xyz}{bxz+xcy}=\frac{xyz}{cyx+ayz}\)

Mà \(x;y;z\ne0\) suy ra:

\(ayz+bxz=bxz+xcy=cxy+ayz\)

\(\Rightarrow az=cx;bx=ay\)

\(\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\)

\(\Rightarrow x=ak;y=bk;z=ck\)

Khi đó:\(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow\frac{ak\cdot bk}{abk+abk}=\frac{a^2k^2+b^2k^2+c^2k^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow\frac{k}{2}=k^2\)

\(\Rightarrow k=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x=\frac{a}{2};y=\frac{b}{2};z=\frac{c}{2}\)

Thay số vào,ta được:

\(x=1;y=2;z=3\)

\(\frac{xy}{2y+4x}=\frac{yz}{4z+6y}=\frac{xz}{6x+2z}\)(4z chứ 4x là sai đề rồi bạn)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}+\frac{y}{4}=\frac{y}{4}+\frac{z}{6}=\frac{z}{6}+\frac{x}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}\)tự làm tiếp :))

sorry sai đề :v

Sửa \(\frac{xy}{2y+4x}+\frac{yz}{4z+6y}=\frac{zx}{6x+2z}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2^2+4^2+6^2}\)

Ta có :

 \(\frac{xy}{2y+4x}=\frac{yz}{4z+6y}=\frac{zx}{6x+2z}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2^2+4^2+6^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{xyz}{2yz+4xz}=\frac{xyz}{4xz+6xy}=\frac{xyz}{6xy+2yz}\)

\(\Rightarrow2yz+4xz=4xz+6xy=6xy+2yz\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2yz=6xy\\4xz=2yz\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}z=3x\\y=2x\end{cases}}\)

\(\rightarrow x:y:z=1:2:3\frac{xy}{2y+4x}\)  \(=\frac{yz}{4z+6y}=\frac{zx}{6x+2z}=\frac{2x^2}{4y+4x}=\frac{x}{4}.\frac{x^2+y^2+z^2}{2^2+4^2+6^2}=\frac{14x^2}{56}=\frac{x^2}{4}\rightarrow\frac{x^2}{4}=\frac{x}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2-x}{4}=0\Leftrightarrow x-1=0\left(x\ne0\right)\)

\(\Rightarrow x=1\rightarrow x=1;y=2;z=3\)

Làm thử thôi sai thì thôi nha !

Ta có: \(\frac{x-1}{5}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{4}\)  \(\Leftrightarrow\frac{2x-2}{10}=\frac{3y-6}{9}=\frac{2z-2}{8}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{2x-2}{10}=\frac{3y-6}{9}=\frac{2z-2}{8}=\frac{2x-2-3y+6-2z+2}{10-9-8}=\frac{-27+6}{-7}=\frac{-21}{-7}=3\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x-1}{5}=3\\\frac{y-2}{3}=3\\\frac{z-1}{4}=3\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x-1=15\\y-2=9\\z-1=12\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=16\\y=11\\z=13\end{cases}}\)

Vậy...

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz : \(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\ge\frac{\left(a+c\right)^2}{b+d}\) 

\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}=\frac{x^2}{x^6}+\frac{1^2}{y^4}\ge\frac{\left(x+1\right)^2}{x^6+y^4}\ge\frac{4x}{x^6+y^4}\)(\(\left(a+b\right)^2\ge4a\))

Tương tự: \(\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\ge\frac{4y}{y^6+z^4};\frac{1}{z^4}+\frac{1}{x^4}\ge\frac{4z}{z^6+x^4}\)

\(\Rightarrow2.\left(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\right)\ge4\left(\frac{x}{x^6+y^4}+\frac{y}{y^6+z^4}+\frac{z}{z^6+x^4}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\ge\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2y}{y^6+z^4}+\frac{2z}{z^6+x^4}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

 

với x,y,z >0 áp dụng bđt cosi ta có:

\(x^6+y^4>=2\sqrt{x^6y^4}=2x^3y^2\Rightarrow\frac{2x}{x^6+y^4}< =\frac{2x}{2x^3y^2}=\frac{1}{x^2y^2}\)

\(y^6+z^4>=2\sqrt{y^6z^4}=2y^3z^2\Rightarrow\frac{2y}{y^6+z^4}< =\frac{2y}{2y^3z^2}=\frac{1}{y^2z^2}\)

\(z^6+x^4>=2\sqrt{z^6x^4}=2z^3x^2\Rightarrow\frac{2z}{z^6+x^4}< =\frac{2z}{2z^3x^2}=\frac{1}{z^2x^2}\)

\(\Rightarrow\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2y}{y^6+z^4}+\frac{2z}{z^6+x^4}< =\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{z^2x^2}\left(1\right)\)

với x,y,z>0 áp dụng bđt cosi ta có:

\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}>=2\sqrt{\frac{1}{x^4}\cdot\frac{1}{y^4}}=\frac{2}{x^2y^2}\)

\(\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}>=2\sqrt{\frac{1}{y^4}\cdot\frac{1}{z^4}}=\frac{2}{y^2z^2}\)

\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{z^4}>=2\sqrt{\frac{1}{x^4}\cdot\frac{1}{z^4}}=\frac{2}{x^2z^2}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{x^4}+\frac{2}{y^4}+\frac{2}{z^4}>=\frac{2}{x^2y^2}+\frac{2}{y^2z^2}+\frac{2}{x^2z^2}\Rightarrow\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}>=\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{x^2z^2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{x^2z^2}< =\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\left(2\right)\)

từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2x}{y^6+z^4}+\frac{2x}{z^6+x^4}< =\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\)(đpcm)

dấu = xảy ra khi x=y=z=1

các bạn ơi giải  nhanh giúp mình đi

Đặt cái thứ nhất bằng k, rồi rút x;y;z theo k

thay vào cái thứ 2 rồi rút gọn tính dc k;

thay ngược lại tìm x;y;z

 

bạn biết thì giải chi tiết giúp mk nha