Câu 1: Chứng minh rằng tổng các số nghịch đảo của cá số 2,3,4,..,15 không phải là các số tự nhiên.
Câu 2: Chứng minh rằng không tồn tại 3 số tự nhiên a, b, c thỏa mãn:
\(a^2\)+ \(b^2\)+ \(c^2\)= 2007
Bài 1 :
a) Chứng minh rằng :
\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}-\)\(\frac{1}{200}=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{200}\)
b) Giair bài toán trên trong trường hợp tổng quát
Bài 2 :
Chứng minh rằng tổng các số nghịch đảo của các số 2,3,4...,15 không phải là số tự nhiên
Bài 1 :
a.Ta có 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/199 - 1/200
=(1+1/2+1/3+1/4+.....+1/199+1/200) -2(1/2+1/4+1/6+......+1/200)
=(1+1/2+1/3+1/4+.....+1/199+1/200) -(1+1/2+1/3+.....+1/100)
=1/101+1/102+....+1/199+1/200
b.Tổng quát bạn tự làm nhé
Bài 1 :
Ta giải bài toán tổng quát :chứng minh rằng : với n là số tự nhiên lớn hơn 1 , ta luô có :
\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}\)\(-\frac{1}{2n}\)
\(=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\)
Thật vậy ,kí hiệu \(S2n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n}\)thì ta có :
\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...-\frac{1}{2n}=S2n-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n}\right)\)
\(=S2n-\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+..+\frac{1}{2n}\)
Bài toán ở câu a chỉ là trường hợp riêng của bài toán trên với \(n=100\)
Bài 2 :
Đặt \(S=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{15}\left(1\right)\)
\(T=1.3.5.7...15\)( Tích các số lẻ bé hơn hoặc bằng 15 )
Nhân 2 vế của ( 1 ) với 2^2 .T ta được :
\(S.2^2T=\frac{2^2T}{2}+\frac{2^2T}{3}+\frac{2^2T}{4}+...+\frac{2^2T}{15}\left(2\right)\)
Dễ thấy tất cả các số hạng ở vế phải của ( 2) ,trừ số hặng \(\frac{2^2T}{2^3}\)đều là số tự nhiên ,suy ra vế phải có tổng không phải là số tự nhiên .Do đó S không phải là số tự nhiên
Chúc bạn học tốt ( -_- )
Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên a,b.c.d thỏa mãn adcb = 12345 và a mũ 2 = b mũ 2 + c mũ 2 + d mũ 2
Để chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên a, b, c, d thỏa mãn adcb = 12345 và a^2 = b^2 + c^2 + d^2, ta có thể sử dụng phương pháp phản chứng (proof by contradiction). Giả sử rằng tồn tại các số tự nhiên a, b, c, d thỏa mãn hai điều kiện trên. Từ a^2 = b^2 + c^2 + d^2, ta có thể suy ra rằng a^2 là một số chẵn (vì tổng của các số bình phương là số chẵn). Do đó, a cũng phải là một số chẵn. Tuy nhiên, khi nhân các số a, b, c, d lại với nhau theo thứ tự adcb, ta có một số lẻ (12345). Điều này chỉ có thể xảy ra khi ít nhất một trong các số a, b, c, d là số lẻ. Nhưng theo giả thiết, a là số chẵn. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết ban đầu, khiến cho giả thiết không thể đúng. Vì vậy, không tồn tại các số tự nhiên a, b, c, d thỏa mãn adcb = 12345 và a^2 = b^2 + c^2 + d^2.
1
a) Tìm tất cả các số tự nhiên n để 1+2+2^ +... + 2^2n-1 là số nguyên tố. b) Chứng minh rằng tồn tại 2023 số tự nhiên liên tiếp mà tất cả các số đều là hợp số. Nêu nhận định tổng quát và chứng minh nhận định đó. Câu 2.
a) Chứng tỏ rằng S=1+3+3^2 +...+3^2022 không là số chính phương.
b) Tìm số chính phương n mà tổng các chữ số của n bằng 2024.
chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên a,b,c là nghiệm đúng của phương trình x2+y2+z2=3xyz đồng thời thỏa mãn số bé nhất trong 3 số a,b,c>24
Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên a,b,c nào thỏa mãn
abc+a=333
abc+b=335
abc+c=341
Nếu abc lẻ thì a;b;c lẻ mà lẻ + lẻ = chẵn nên abc + a; abc + b; abc + c phài chẵn mà nó lẻ nên sai,
Tương tự. Vậy ko tồn tại a; b; c.
Đấy là nếu bạn có thể hiểu
là giả sử
2. Tìm các số tự nhiên n thoả mãn n2 +3n+2 là số nguyên tố.
3. Tìm các số tự nhiên n sao cho 2n +34 là số chính phương.
4. Chứng minh rằng tổng S = 14 +24 +34 +···+1004 không là số chính phương.
5. Tìm các số nguyên dương a ≤ b ≤ c thoả mãn abc,a+b+c,a+b+c+2 đều là các số nguyên tố
Mik gấp
đặt 2n + 34 = a^2
34 = a^2-n^2
34=(a-n)(a+n)
a-n thuộc ước của 34 là { 1; 2; 17; 34} và a-n . Ta có bảng sau ( mik ko bt vẽ)
=> a-n 1 2
a+n 34 17
Mà tổng và hiệu 2 số nguyên cùng tính chẵn lẻ
Vậy ....
Ta cóS = 14 +24 +34 +···+1004 không là số chính phương.
=> S= (1004+14).100:2=50 900 ko là SCP
2: A=n^2+3n+2=(n+1)(n+2)
Để A là số nguyên tố thì n+1=1 hoặc n+2=2
=>n=0
chứng minh rằng B= 1/5+1/7+1/9+...+1/101 không phải là số tự nhiên
chứng minh rằng A= 1+1/2+1/3+...+1/100 không phải là số tự nhiên
chứng minh rằng C= 1/2+1/3+1/4+...+1/50 không phải là số tự nhiên
Để quy đồng mẫu các phân số trong tổng A = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/100, ta chọn mẫu chung là tích của 2^6 với các thừa số lẻ nhỏ hơn 100. Gọi k1,k2,... k100 là các thừa số phụ tương ứng, tổng A có dạng: B=(k1+k2+k3+...+k100)/(2^6.3.5.7....99).
Trong 100 phân số của tổng A chỉ có duy nhất phân số 1/64 có mẫu chứa 2^6 nên trong các thừa số phụ k1,k2,...k100 chỉ có k64 (thừa số phụ của 1/64) là số lẻ (bằng 3.5.7....99), còn các thừa số phụ khác đều chẵn (vì chứa ít nhất một thừa số 2). Phân số B có mẫu chia hết cho 2 còn tử không chia hết cho 2, do đó B (tức là A) không thể là số tự nhiên.
Ngoài ra với trường hợp tổng quát, hạng tử cuối là 1/n (n là số tự nhiên), ta chọn mẫu chung là 2^k với các thừa số lẻ không vượt quá n, trong đó k là số lớn nhất mà 2^k <= n. Chỉ có thừa số phụ của 1/2^k là số lẻ còn các thừa số phụ khác đều chẵn.
Còn cách giải khác nữa cùng trong sách Nâng cao và phát triển Toán 6 tập hai bạn có thể tham khảo thêm nhé. Chúc bạn học giỏi!
Xét 1/2 + 1/3 + 1/4
1/2 + 1/4 = (2+4)/(2.4) = 2.3/[(3-1)(3+1)] = 2.3/(3^2 - 1) > 2.3/3^2 = 2/3 = 2.(1/3)
---> 1/2+1/3+1/4 > 3.(1/3) = 1 (1)
Lại xét 1/5 + 1/6 + ... + 1/9 + ... + 1/13
1/8+1/10 = (8+10)/(8.10) = 2.9/(9^2 - 1) > 2.9/9^2 = 2/9 = 2.(1/9)
Tương tự cm được 1/7+1/11 > 2.(1/9) ; 1/6+1/12 > 2.1/9; ...; 1/5+1/13 > 2.1/9
---> 1/5+1/6+ ... + 1/13 > 9.(1/9) = 1 (2)
Tiếp tục xài chiêu đó, cm được 1/14+1/15+ ... + 1/38 > 25.(1/25) = 1 (3)
(1),(2),(3) ---> a > 3 (*)
Mặt khác
1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 (4)
1/4 + 1/5 + 1/20 = 1/2 (5)
1/7 + 1/8 + 1/9 < 3.(1/7) = 3/7 (6)
1/10+1/11+ ...+1/14 < 5.(1/10) = 1/2 (7)
1/15+1/16+ ...+1/19 < 5.(1/15) = 1/3 (8)
1/21+1/22+ ...+1/26 < 6.(1/21) = 2/7 (9)
1/27+1/28+ ...+1/50 < 24.(1/27) = 8/9 (10)
Cộng (4),(5),(6),(7), (8),(9),(10) ---> a < 2 + 5/7 + 11/9 < 2 + 7/9 + 11/9 = 4 (**)
Từ (*) và (**) ---> 3 < c < 4 ---> a ko phải là số tự nhiên.
====================================
Cách khác (tổng quát hơn, trừu tượng hơn)
Quy đồng mẫu số :
Chọn mẫu số chung là M = BCNN(2;3;4;...;50) = k.2^5 = 32k (k là số tự nhiên lẻ)
Đặt T2 = M/2; T3 = M/3; ...; T50 = M/50
---> a = (T2+T3+ ... + T50) / M
Chú ý rằng T2,T3,...,T50 đều chẵn, chỉ riêng T32 = M/32 = k là lẻ, còn M chẵn
---> T2+T3+...T50 lẻ.Số lẻ ko thể là bội của số chẵn ---> c ko phải là số tự nhiên.
Chứng minh rằng không thể biểu diễn số 1 thành tổng các bình phương của nghịch đảo các số tự nhiên khác nhau (Ví dụ bình phương của a là a2 ,ngịch đảo của a là \(\frac{1}{a}\))
Chứng minh rằng không thể biểu diễn số 1 thành tổng các bình phương của nghịch đảo các số tự nhiên khác nhau (Ví dụ bình phương của a là a2 ,ngịch đảo của a là 1/a )
Chứng minh rằng không thể biểu diễn số 11 thành tổng các nghịch đảo của bình phương của kk số tự nhiên khác nhau từng đôi một (k∈N,k⩾2k∈N,k⩾2)
GIẢI :
Xét 2 trường hợp :
+ Nếu trong k số tự nhiên đó có số 1 thì dĩ nhiên tổng đó lớn hơn 11^2=1
+ Nếu trong k số tự nhiên đó không có số 1 :
[tex]\frac{1}{n^2}< \frac{1}{(n-1).n}[/tex] |
[tex]\Rightarrow \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1).n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}< 1[/tex] |
Vậy dù tổng ở vế trái có bao nhiêu số hạng thì nó vẫn nhỏ hơn 11.
Trong cả 2rường hợp, tổng các nghịch đảo của bình phương của k số tự nhiên khác nhau từng đôi một luôn luôn khác 1 (lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1) ⇒⇒đpcm.