Ta có \(\frac{x+2xy+1}{x+xy+xz+1}=\frac{x+2xy+xyz}{x+xy+xz+xyz}=\frac{1+2y+yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)

Tương tự => \(M=\frac{1+2y+yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{1+2z+zx}{\left(1+x\right)\left(z+1\right)}+\frac{1+2x+xy}{\left(1+x\right)\left(y+1\right)}\)

=> \(M=\frac{\left(1+2y+yz\right)\left(1+x\right)+\left(1+2z+zx\right)\left(1+y\right)+\left(1+2x+xy\right)\left(1+z\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)

=>\(M=\frac{6+3\left(x+y+z\right)+3\left(xy+yz+xz\right)}{2+\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+xz\right)}=3\)

ta có x/xy+x+1 +y/yz+y+1 +z/xz+z+1

=xz/xyz+xz+z +xyz/xyz^2+xyz+xz +z/xz+z+1

=xz/1+xz+z +1/z+1+xz +z/ xz+z+1

=xz+z+1 /xz+z+1 =1

Ta thấy rằng trong bài này nên áp dụng HĐT

Nếu a+b+c = 0 thì a³ + b³ + c³ = 3abc

Theo bài ra , ta có :

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)

Ta có :

\(A=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{xyz}{x^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{z^3}\)

\(\Leftrightarrow A=xyz.\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)(Vì \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\))

Vậy A = 3

Chúc bạn hok tốt =))

3

đáp án

chia cả 2 vế của giả thiết cho xyz rồi đặt 1/x ; 1/y ; 1/z => a ; b ; c

đến đây thì tự làm tiếp đi 

\(A=\frac{x}{xy+x+1}+\frac{y}{y+1+yz}+\frac{z}{1+z+xz}\)

\(=\frac{x}{xy+x+1}+\frac{xy}{xy+x+xyz}+\frac{xyz}{xy+xyz+x^2yz}\)

\(=\frac{x}{xy+x+1}+\frac{xy}{xy+x+1}+\frac{1}{xy+1+x}\)

\(=\frac{xy+x+1}{xy+x+1}=1\)

\(\frac{x}{xy+x+1}+\frac{xy}{yx+x+xyz}+\frac{xyz}{xy+xyz+x^2yz}\)

\(\frac{x}{xy+x+1}+\frac{xy}{yx+x+1}+\frac{1}{xy+1+x}\)

\(\frac{x+xy+1}{xy+x+1}=1\)

Xem lại cái đề đi Tuyển. Hình như giá trị nhỏ nhất của cái biểu thức dưới còn lớn hơn là 1 thì làm sao bài đó có giá trị x, y, z thỏa được mà bảo tính A.

\(xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=0\\ \Rightarrow yz+xz+xy=0\)

\(A=\frac{xy}{z^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{yz}{x^2}\\ \Leftrightarrow A=\frac{x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3}{x^2y^2z^2}\)

Ta có :\(yz+xz+xy=0\)

         \(\Rightarrow y^3x^3+x^3z^3+x^3y^3=-3xyz\left(y^2z+yz^2+x^2z+xz^2+x^2y+xy^2+2xyz\right)\)

                                                  \(=-3xyz\left(yz+xz\right)\left(xz+xy\right)\left(yz+xy\right)\)

                                                   \(=-3xyz\left(-xy\right)\left(-yz\right)\left(-xz\right)\\ =3x^2y^2z^2\)

      \(\Rightarrow A=\frac{3x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}=3\)

Đặt x = y = z = 1 . Ta có:

\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\ge8\) 

\(\Leftrightarrow\left(1+1\right)^3\Leftrightarrow2^3\). Mà

\(2^3=8\RightarrowĐPCM\)

Hello hikaru nakamura

k ai trả lời đc ah

\(P=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+xz}.\)

\(P=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{x}{x\left(1+y+yz\right)}+\frac{xy}{xy\left(1+z+xz\right)}\)

\(P=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{x}{x+xy+xyz}+\frac{xy}{xy+xyz+x^2yz}\)

\(P=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{x}{x+xy+xyz}+\frac{xy}{xy+xyz+xyz.x}\)

\(P=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{x}{x+xy+1}+\frac{xy}{xy+1+x}\left(xyz=1\right)\)

\(P=\frac{1+x+xy}{1+x+xy}=1\)

Vậy P=1